Mengi rauntalna hefur ýmsar takmarkanir þegar kemur að lausnum margliðujafna. Til dæmis hefur jafnan $x^2 = -1$ enga rauntölulausn því $x^2 \geq 0$ fyrir öll $x \in \mathbb{R}$ og almennar hefur annars stigs jafnan $A x^2 + B x + C = 0$ enga rauntölulausn ef aðgreinir hennar er neikvæður.
Gerum nú ráð fyrir að til sé stærð $i$ sem leysir jöfnuna $x^2 = - 1$. Mikilvægt er að átta sig á að $i$ er ekki rauntala, því eins og kemur fram að ofan hefur $x^2 = - 1$ enga rauntölulausn. Þrátt fyrir það gerum við ráð fyrir að nota megi $i$ í reikningi eins og um rauntölur væri að ræða og að allar reglur um rauntölureikning gildi áfram um reikning með $i$.
Stærðir af gerðinni $z = a + i b$, þar sem $a$ og $b$ eru rauntölur, kallast tvinntölur og mengi þeirra er táknað með $\mathbb{C}$. Talan $a$ kallast raunhluti tvinntölunnar $z$ og talan $b$ kallast þverhluti hennar. Oft er raunhluti tvinntölunnar $z$ táknaður með $\mathrm{Re}(z)$ og þverhlutinn táknaður með $\mathrm{Im}(z)$.
Sérhverja rauntölu $x$ má rita á forminu $x = x + i 0$, svo sérhver rauntala er tvinntala og því er $\mathbb{R}$ hlutmengi í $\mathbb{C}$. Jafnframt er auðvelt að sjá að tvinntala $z$ er rauntala ef og aðeins ef $\mathrm{Im}(z) = 0$. Sérhver tvinntala af gerðinni $i y = 0 + i y$, þar sem $y$ er rauntala, kallast þvertala. Auðvelt er að sjá að tvinntala $z$ er þvertala ef og aðeins ef $\mathrm{Re}(z) = 0$.
Reikniaðgerðir
Þar sem reikningur með $i$ á að fara fram eins og venjulegur rauntalnareikningur má beita grunnreikniaðgerðunum fjórum fyrir rauntölur, þ.e. samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu, á tvinntölur. Þannig fæst að summa tveggja tvinntalna $z = a + i b$ og $w = c + i d$ er gefin með jöfnunni \[ (a + i b) + (c + i d) = a + c + i b + i d = (a + c) + i (b + d), \] og margfeldi þeirra er gefið jöfnunni \[ (a + i b) (c + i d) = a c + a i d + i b c + b d i^2 = a c - b d + i a d + i b c = (a c - b d) + i (a d + b c), \] Samlagning og margföldun fullnægja áfram sömu reiknireglum og rauntöluaðgerðirnar, t.d. eru þær báðar tengnar og víxlnar og margföldun er dreifin yfir samlagningu. Jafnframt hafa $0 = 0 + i 0$ og $1 = 1 + i 0$ sama mikilvægi í $\mathbb{C}$ og þær hafa í $\mathbb{R}$, þ.e. $0$ er samlagningarhlutleysa og $1$ er margföldunarhlutleysa. Loks hefur sérhver tvinntala $z = a + i b$ samlagningarumhverfu sem, gefin er með jöfnunni \[ - z = - a - i b, \] og sérhver tvinntala $z = a + i b \neq 0$ hefur margföldunarumhverfu, sem gefin er með jöfnunni \[ \frac1{z} = \frac{a}{a^2 + b^2} + i \frac{b}{a^2 + b^2}. \]
Dæmi:
- Setjum $z = 9 + i 3$ og $w = 4 + i 7$. Summa þessara tveggja tvinntalna er \[ z + w = (9 + 4) + i (3 + 7) = 13 + i 10, \] og margfeldi þeirra er \[ z \cdot w = (9 \cdot 4 - 3 \cdot 7) + i (9 \cdot 7 + 3 \cdot 4) = 15 + i 75. \]
- Setjum $z = 5 - i 4 = 5 + i (-4)$ og $w = - 3 + i 6 = (-3) + i 6$. Summa þessara tveggja tvinntalna er \[ z + w = (5 + (-3)) + i ((-4) + 6) = 2 + i 2, \] og margfeldi þeirra er \[ z \cdot w = (5 \cdot (-3) - (-4) \cdot 6) + i (5 \cdot 6 - (-4) \cdot (-3)) = 9 + i 18. \]
Tvinntalnasléttan
Tvær tvinntölur $z = a + i b$ og $w = c + i d$ eru jafnar ef raun- og þverhlutar þeirra eru jafnir, þ.e. ef $a = c$ og $b = d$. Þetta gefur tilefni til að samsama tvinntöluna $a + i b$ við tvenndina $(a, b)$. Með því að líta á tvenndina $(a, b)$ sem hnit vigurs í tvívíðu hnitakerfi má ennfremur samsama sérhverja tvinntölu $z = a + i b$ við vigurinn með hnit $(a, b)$.
Þegar litið er á tvinntölur sem vigra í tvívíðu hnitakerfi er talað um tvinntalnasléttuna. Í tvinntalnasléttunni eru rauntölurnar $a = a + 0 i$ samsamaðar vigrunum $(a, 0)$ og þær skipa sér því á $x$-ásinn. Þvertölurnar $b i = 0 + b i$ eru samsamaðar vigrunum $(0, b)$ og þær skipa sér því á $y$-ásinn. Af þessum sökum er $x$-ásinn í tvinntalnasléttunni oft kallaður raunás og $y$-ásinn er kallaður þverás. Raunásinn er oft táknaður með $\mathbb{R}$ og þverásinn með $i \mathbb{R}$.