Á stofugólfinu er ljótur hringlaga blettur sem hefur flatarmálið $1$. Sýnið að hægt er að hylja blettinn með þremur ferningslaga mottum sem hver hefur flatarmálið $1$ (án þess að klippa motturnar í sundur).
Lausn
Við sýnum að það er meira að segja hægt að þekja blettinn með tveimur
mottum.
Ef $r$ er geisli blettsins, þá er flatarmál hans $\pi r^2=1$ og því
$r=\frac{1}{\sqrt\pi}$.
Látum $O$ vera miðpunkt hringsins og $ABCD$ vera aðra mottuna. Við
leggjum hana nú þannig að hringurinn snerti hliðarnar $AB$ og $BC$. Við
látum $Q$ vera fótpunkt þverilsins gegnum $O$ á hliðina $AD$.
Nú er $1\gt 1/\sqrt{\pi}$ þar sem $\pi\gt 1$ og því er $O$ innaní ferningnum.
Einnig er
þvermál hringsins $2/\sqrt{\pi}$, sem er stærra en 1 þar sem $\pi\lt 4$, og því er
$Q$ innaní hringnum og $|OQ|=1-1/\sqrt{\pi}$.
Þá sker hringurinn
strikið $AQ$ í punkti $P$. Regla Pýþagorasar gefur nú að
$$
|PQ|^2=|OP|^2-|OQ|^2=\frac{1}{\pi}-\left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2
=\frac{2}{\sqrt{\pi}}-1.$$
Við leggjum nú hina mottuna $A’B’C’D’$
þannig að hringurinn snerti hliðarnar $A’D’$ og $C’D’$ í punktum gengt
snertipunktum hinnar mottunnar við hringinn. Til að sýna að motturnar
hylji nú blettinn nægir augljóslega að sýna að punkturinn $P$ lendi
undir seinni mottunni, það er að $P$ sé í minni fjarlægð en 1 frá
hliðinni $C’D’$, það er að
$$|PQ|+\frac{1}{\sqrt{\pi}}\lt 1.$$
Við þurfum þá að sýna að
$$ \frac{2}{\sqrt{\pi}}-1=|PQ|^2\lt \left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2$$
sem jafngildir
$$ 0\lt 2\pi-4\sqrt{\pi}+1=2(\sqrt{\pi}-1)^2-1$$
svo okkur nægir að sýna að $(\sqrt{\pi}-1)^2\gt 1/2$. Við vitum að fyrstu
þrír stafir $\pi$ eru $\text{3,14}$. Nú er
$\text{1,75}^2=(2-\text{0,25})^2=4-1+\text{0,125}=\text{3,125}$ svo að $\text{1,75}\lt \sqrt{\pi}$
og því $\sqrt\pi-1\gt 0,75$. En
$\text{0,75}^2=(1-\text{0,25})^2=1-\text{0,5}+\text{0,125}\gt \text{0,5}$ svo við höfum sannað ójöfnuna.