1993-94 | stæ.is

Dæmi 21. Neðra stig 1993-94

Inni í ferningi er minni ferningur þannig að hliðar þeirra eru samsíða. Dregin eru strik milli hornpunkta eins og myndin sýnir. Sýnið að samanlagt flatarmál $A$ og $C$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $B$ og $D$.

Lausn

Svæðin $A$, $B$, $C$ og $D$ eru trapisur. Táknum með $h_A$, $h_B$, $h_C$ og $h_D$ hæðir þeirra. Táknum hliðarlengd stærri ferningsins með $x$ og hliðarlengd þess minni með $y$. Regla um flatarmál trapisu segir að flatarmál $A$ er $F_A=\frac{1}{2}h_A(x+y)$ og sambærilegt fyrir flatarmál hinna svæðanna. Tökum eftir að $h_A+h_C=x-y$, þannig að $$ \begin{aligned} F_A+F_C&=\frac{1}{2}h_A(x+y)+\frac{1}{2}h_C(x+y)\\ &=\frac{1}{2}(h_A+h_C)(x+y)\\ &=\frac{1}{2}(x-y)(x+y). \end{aligned} $$ Eins sést að $F_B+F_D=\frac{1}{2}(x-y)(x+y)$ og því er $F_A+F_C=F_B+F_D$.

Dæmi 22. Neðra stig 1993-94

Hversu margar náttúrlegar tölur hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð (eins og til dæmis talan $2458$)?

Lausn

Fyrst er vert að minnast á tvö atriði varðandi hvernig á að skilja þetta dæmi. Fyrst er það spurningin um hvað á að gera við einstafs tölur, til dæmis töluna $5$. Eru tölstafir hennar í vaxandi röð? Þarna kemur fram munur á stærðfræðilegri málnotkun og venjulegri málnotkun. Margir mundu segja að það væri út í hött að segja að einn tölustafur myndaði vaxandi röð, en í stærðfræðilegri málnotkun er það ekkert óeðlilegt. Einnig kemur upp sú spurning hvort talan $0$ er náttúruleg tala. Hér er það hreint smekksatriði hvað menn segja og ekkert allsherjar samkomulag til. Það hvaða afstöðu menn tóku til þessara spurninga hafði ekki áhrif á stigagjöf fyrir dæmið. Lausnin hér miðast við að eins stafs tölur eru taldar með en $0$ ekki.

Lausn 1: Skoðum rununa $123456789$. Sérhverja tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð má fá út úr þessari runu með því að taka burt einhverja tölustafi. Þá sjáum við til dæmis, að fjöldi fimm stafa talna sem hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð er jafn fjölda möguleika á því að taka burt fjóra stafi, eða jafn $9\choose4$. Til að fá heildarfjöldann þá verðum við að reikna út $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}}.$$ Það má nota ýmsar leiðir til að sjá út að þessi tala er $511$. Það má jafnvel reikna þetta beint, en til gamans sýnum við hér aðra leið til að fá svarið. Við notum tvíliðuregluna sem segir að $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}} a^kb^{n-k}.$$ Þá er $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}}=(1+1)^9=2^9=512,$$ og þar sem við sleppum síðasta liðnum, það er $\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}$, þá fáum við $511$.

Lausn 2: Annað hvort kemur tala í rununni $123456789$ fyrir í tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð eða ekki. Fyrir hverja tölu eru því tveir möguleikar, annaðhvort er talan með eða ekki. Við teljum ekki með þann möguleika að engin tala sé með og svarið við dæminu er því $2^9-1=511$.

Dæmi 10. Neðra stig 1993-94

Meðalaldur $20$ manna hóps er $16$ ár og $3$ mánuðir. Nú bætist ein $18$ ára stúlka í hópinn. Hver verður meðalaldurinn þá?

Lausn

Ef meðalaldur $20$ mann hóps er $16$ ár og $3$ mánuðir, þá er samanlagður aldur hópsins $20\cdot 16\frac{3}{12}=320\frac{60}{12}=325$ ár. Þegar $18$ ára stúlka bætist við verður samanlagður aldurinn $325+18=343$ ár og því meðalaldurinn $$\frac{343}{21}=16\frac{7}{21}=16\frac{1}{3}=16\frac{4}{12},$$ það er að segja, $16$ ár og $4$ mánuðir.

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Verktaki segist ljúka ákveðnu verki á þremur dögum með tilteknum fjölda véla. Ef þremur vélum er bætt við lýkur verkinu á tveimur dögum. Hve marga daga þarf hann til þess að ljúka verkinu ef ein vél er notuð?

Lausn

Látum $x$ tákna fjölda véla sem verktakinn þarf til að ljúka verkinu á þremur dögum. Verkið er þá alls $3x$ vélardagsverk. En þegar hann bætir við 3 vélum, þá tekur verkið aðeins tvo daga, svo það er einnig $2(x+3)$ vélardagsverk og því $3x=2(x+3)$. Þá er $x=6$ og því verkið alls $3x=3\cdot 6=18$ vélardagsverk. Það tekur því eina vél $18$ daga að ljúka verkinu.

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Hver er stuðullinn við $x^{50}$ þegar margfaldað er upp úr $$ (1+x+x^{2}+\cdots+x^{100})(1+x+x^{2}+\cdots+x^{25})? $$

Lausn

Fyrir hvern lið í seinni sviganum fáum við $x^{50}$ nákvæmlega einu sinni þegar við margföldum hann inn í fyrri svigann. Það eru $26$ liðir í seinni sviganum svo stuðullinn við $x^{50}$ er $26$.

Dæmi 13. Neðra stig 1993-94

Á hraðskákmóti eru $13$ keppendur og teflir hver þeirra fjórum sinnum við sérhvern hinna. Þá er fjöldi skáka sem er tefldur jafn

Lausn

Lausn 1: Ef allir keppendur skrá allar sínar skákir, þá skráir hver þeirra $4\cdot 12$ skákir. Alls er þá skráðar $4\cdot12\cdot 13$ skákir á mótinu. En þar sem tveir tefla hverja skák, þá er hver skák skráð tvisvar og fjöldi þeirra því $\frac12\cdot4\cdot 12\cdot 13=312$.

Lausn 2: Röðum keppendunum upp í einfalda röð. Sá fyrsti í röðinni teflir fjórum sinnum við hvern hinna keppendanna svo þar eru $4\cdot 12$ skákir. Þær skákir sem eru enn ótaldar og annar keppandinn í röðinni teflir eru þær sem hann teflir við þá sem eru fyrir aftan hann í röðinni. Þær eru $4\cdot 11$ talsins. Þannig göngum við eftir röðinni, ótaldar skákir sem sá þriðji teflir eru $4\cdot 10$ og svo framvegis. Ótöldu skákirnar sem sá næst síðasti teflir eru þá $4$ og allar skákirnar hafa verið taldar þegar við komum að þeim seinasta. Alls eru þá tefldar $$ 4\cdot (12+11+10+\cdots+1)=4\cdot \frac{(12+1)12}{2}=24\cdot 13=312$$ skákir á mótinu.

Dæmi 14. Neðra stig 1993-94

Reipi er skorið í tvennt á stað, sem er valinn af handahófi. Hver eru líkindi þess, að lengri búturinn sé að minnsta kosti tvöfalt lengri en sá styttri?

Lausn

Merkjum tvo staði á reipinu þannig að hver partur sé einn þriðji af lengd þess. Þegar við skerum reipið, þá er lengri endinn að minnsta kosti tvöfalt lengri en sá styttri þá og því aðeins að reipið sé ekki skorið á miðpartinum. Við megum því skera reipið hvar sem er á $\frac{2}{3}$ hluta þess. Líkindin eru því $\frac{2}{3}$.

Dæmi 15. Neðra stig 1993-94

Hver er fjöldi sekúndna, sem þrítugur maður hefur lifað? (Setjið kross við töluna, sem er næst réttu svari.)

Lausn

Ef við reiknum með $360$ dögum í ári, þá er fjöldi sekúnda í $30$ árum jafn $$ \begin{aligned} 30\cdot 360\cdot 24\cdot 60\cdot 60 &= 3\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 6\cdot 6\cdot 10^6\\ &= 1,08\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &\approx 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &= 8,64\cdot 10^8. \end{aligned} $$

Skekkjan sem við fáum í ofangreindan útreikning með því að gera ráð fyrir að það séu 360 dagar í ári er allavega minni en $$ 30\cdot 6\cdot 24\cdot 60\cdot 60=2\cdot 6^5\cdot 10^3\lt 2\cdot 10^4\cdot 10^3=2\cdot 10^7,$$ því $$6^5=2^5\cdot 3^5=32\cdot 9\cdot 9\cdot 3\lt 32\cdot300\lt 10000,$$ og nálgunin sem við gerðum í útreikningunum er minni en $0,1\cdot 8,64\cdot 10^8\lt 1\cdot 10^8$. Skekkjan er því alls minni en $1,2\cdot 10^8$ og svarið okkar því næst því að vera $1$ milljarður.

Dæmi 16. Neðra stig 1993-94

Jafnhliða þríhyrningur er innritaður í hring með geisla $1$. Hver er hæð þríhyrningsins?

Lausn

Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrningsins og $O$ vera miðpunkt umritaða hringsins. Látum $D$ vera fótpunkt hæðarinnar á $A B$. Látum $x$ vera hliðarlengd þríhyrningsins og $h$ vera hæð hans.

Lausn 1: Þar sem þríhyrningurinn er jafnarma, þá eru hæðirnar jafnframt miðlínur. Nú er það vel þekkt staðreynd að miðlínur í þríhyrningi skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$ og því er hæð þríhyrningsins $$|C D|=|C O|+|O D|=|C O|+\frac{1}{2}|C O|=\frac{3}{2}.$$

Lausn 2: Þríhyrningarnir $A B O$, $B C O$ og $A C O$ hafa allir sama flatarmálið $\frac{1}{2}x(h-1)$. Flatarmál þríhyrningsins $A B C$, sem er $\frac{1}{2}xh$ er jafnt samanlögðu flatarmáli þríhyrninganna $A B O$, $B C O$ og $A C O$ og því er $$\frac{1}{2}xh=3\cdot \frac{1}{2}x(h-1).$$ Við fáum þá að $h=3(h-1)$ og því er $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 3: Þríhyrningarnir $A C D$ og $A O D$ eru rétthyrndir og regla Pýþagórasar gefur að $$ x^2=|A C|^2=|A D|^2+|C D|^2=\frac{1}{4}x^2+h^2$$ og $$ 1=|A O|^2=|A D|^2+|O D|^2=\frac{1}{4}x^2+(1-h)^2. $$ Samkvæmt fyrri jöfnunni er $x^2=\frac{4}{3}h^2$ og þegar við stingum inn í seinni jöfnuna fáum við að $$ 0=\frac{1}{3}h^2+(1-h)^2-1=\left(\frac{4}{3}h-2 \right)h $$ svo að $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 4: Þríhyrningarnir $A O D$ og $C A D$ eru einslaga svo að $$ \frac{1}{h-1}=\frac{|A O|}{|O D|}=\frac{|A C|}{|A D|}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}=2$$ og því $h=\frac{3}{2}$.

Dæmi 2. Neðra stig 1993-94

Allar hliðar fimmhyrningsins á myndinni eru jafnlangar. Hver er stærð hornsins $\angle ABC$ í gráðum?

Lausn

Nú er $BCDE$ ferningur og því strikið $BE$ jafn langt hliðum fimmhyrningsins. Þá er þríhyrningurinn $ABE$ jafnhliða og því $$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$$