(a) Hornin í reglulegum sexhyrningi eru öll $120^\circ$. Því er $\angle K F L=60^\circ$. Þá er hornið $\angle K A L$ líka $60^\circ$ því þetta eru ferilhorn sem spanna sama boga. Eins sjáum við að $\angle A F K=60^\circ$ og því er $\angle A L K=60^\circ$. Nú er fengið að tvö horn í þríhyrningnum $A L K$ eru $60^\circ$ og þar með er fengið að $ALK$ er jafnhliða.

(b) Látum $M$ vera miðpunkt sex-hyrningsins $A B C D E F $ og $N$ vera miðpunkt $F G H I J K$. Í reglulegum sexhyrningi þá er miðpunkturinn í sömu fjarlægð frá hverjum hinna sex hornpunkta. Einnig er fjarlægðin frá miðpunktinum til hvers horn-punkt-anna jöfn hlið-arlengd sexhyrningsins. Táknum hliðarlengd $A B C D E F$ með $a$ og hliðarlengd $FGHIJK$ með $b$. Þá er lengd línustriksins $CI$ jöfn $2a+2b$. Viljum sýna að lengd línustriksins $I L$ sé $a+b$, það er, að lengd línustriksins $NL$ sé $a$. Það gerum við með því að sýna að þríhyrningarnir $A K F$ og $L K N$ séu eins. Samkvæmt (a) er línustrikið $A K$ jafnlangt línustrikinu $K L$. Einnig fæst að línustrikið $K F$ er jafnt línustrikinu $K N$. Samkvæmt (a) fáum við að $$\angle A K F=\angle A K L-\angle F K L=60^\circ-\angle F K L,$$ og einnig er $$angle L K N=\angle F K N-\angle F K L=60^\circ-\angle F K L.$$ Þríhyrningarnir $A K F$ og $L K N$ hafa því tvær hliðar eins og hornið á milli hliðanna er líka eins í báðum, því eru þeir eins. Þá er línustrikið $N L$ jafnlangt línustrikinu $A F$ og lengd $A F$ er $a$.

Minnsta mögulega summan er $\frac{1}{2}\cdot (1+10)\cdot 10=55$ og sú stærsta $\frac{1}{2}\cdot(31+40)\cdot 10=355$.

(Hér notfærum við okkur að ef við eigum að leggja saman $n$ tölur $a_1, a_2, \ldots, a_n$ þannig að $a_{k+1}-a_k$ er föst tala fyrir öll $k=0,\ldots,n-1$, þá er summan margfeldi fjölda talnanna við meðaltal fyrsta og síðasta liðarins.)

Ljóst er að við getum valið spil til að fá hvaða útkomu þarna á milli svo fjöldi mögulegra útkoma er $355-55+1=301$.

Höfum að $$\frac{\frac{3}{7} - 1}{1-\frac{7}{3}} =\frac{ -\frac{4}{7} }{ -\frac{4}{3} }=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{7}.$$

Tökum einhvern nemanda $A$. Fyrst skulum við gera ráð fyrir að ekki sé til nemandi $B$ þannig $B$ læri ekkert þeirra tungumála sem $A$ lærir. Þá lærir sérhver nemandi að minnsta kosti eitt þeirra tungumála sem $A$ lærir. Því má skipta nemendunum í hópa, jafnmarga og tungumálin eru sem $A$ lærir þannig að allir nemendurnir í hverjum hópi læri eitthvert tiltekið mál sem $A$ lærir. Nú lærir $A$ í mesta lagi $5$ tungumál og þegar $1000$ nemendum er skipt í hópa, $5$ eða færri, þá er gulltryggt að í einhverjum hópnum verða að minnsta kosti $100$ nemendur.

Gerum nú ráð fyrir að til sé nemandi $B$ sem lærir ekkert þeirra tungumála sem $A$ lærir. Þá segir skilyrðið í dæminu okkur að allir nemendur skólans læri að minnsta kosti eitt þeirra tungumála sem $A$ og $B$ læra. Samanlagt læra $A$ og $B$ í mesta lagi $10$ tungumál. Nú getum við eins og áður skipt nemendunum í hópa, ekki fleiri en $10$, þannig að allir nemendur í sama hópi læri eitthvert tiltekið tungumál sem annaðhvort $A$ eða $B$ læra. Þá er ljóst að í einhverjum hópnum verða að minnsta kosti $100$ nemendur.