1991-92 | stæ.is

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Látum $k$ vera tiltekna heila tölu. Skilgreinum runu $a_n=2^n k+1$ fyrir $n=0,1,2,\ldots$.

(a) Sannið að ekki sé til frumtala $p$ sem gengur upp í alla liði rununnar.

(b) Sannið að ekki séu til frumtölur $p$ og $q$ þannig að sérhver liður í rununni sé deilanlegur annað hvort með $p$ eða með $q$.

Lausn

(a) Við sýnum að það er ekki einu sinni til frumtala $p$ sem gengu r upp í $a_0$ og $a_1$. Ef svo væri myndi hún einnig ganga upp í $2\cdot a_0-a_1=1$, sem er fráleitt.

(b) Gerum ráð fyrir að slíkar frumtölur séu til. Af ofansögðu er ljóst að ef önnur þeirra, segjum $p$, gengur upp í $a_0$ þá hlýtur $q$ að ganga upp í $a_1$. Nú er $2\cdot a_1-a_2=1$ svo að $q$ gengur ekki upp í $a_2$. Þá hlýtur $p$ að ganga upp í $a_2$ og þar með $4\cdot a_0-a_2=3$ svo að $p=3$. Þá er $q\ne3$ svo $q$ gengur heldur ekki upp í $a_3$ því $4\cdot a_1-a_3=3$. Frumtalan $p$ gengur því einnig upp í $a_3$ og þar með einnig upp í $2\cdot a_2-a_3=1$ sem er fráleitt. Slíkar frumtölur $p$ og $q$ eru því ekki til.

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Ísmolabakki hefur tvö hólf P og Q. Hvort hólf hefur málin $4$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm, eins og sýnt er á myndinni. Hólf P er fullt af vatni og hólf Q er hálffullt. Bakkanum er síðan hallað um kantinn sem bent er á á myndinni þannig að botninn myndi $45$ gráðu horn við grunnflötinn. Hvað flæða margir rúmsentímetrar úr bakkanum?

Lausn

Við gerum ráð fyrir að allt vatn sem rennur úr hólfi $P$ fari yfir í hólf $Q$. Ef við lítum á þverskurð af bakkanum, þá sjáum við að úr hólfi $P$ renna $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=18$ cm$^3$. Hólf $Q$ getur haft alls $3\cdot 4\cdot 4 - 18 = 30$ cm$^3$, en fyrir eru $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 4=24$ cm$^3$, svo það getur aðeins tekið við 6 cm$^3$. Afgangurinn, eða $18-6=12$ cm$^3$, renna því úr bakkanum.

Dæmi 18. Efra stig 1991-92

Skilgreinum fall $f(x)=kx(1-x)$ þar sem $k\gt 0$ er fasti. Ákvarðið
skilyrði á töluna $k$ sem eru nægileg og nauðsynleg til þess, að til sé rauntala $c$ þannig að $f(f(c))=c$ en $f(c)\neq c$.

Lausn

Ef $x$ uppfyllir $f(x)=x$, þá er $kx(1-x)=x$ svo að $x(k-1-k x)=0$ og því $x=0$ eða $k-1-k x=0$.

Ef $x$ uppfyllir $f(f(x))=x$, en $f(x)\neq x$, þá er $$ k^2x(1-x)(1-k x(1-x))=x$$ þar sem $x\neq 0$ og $k-1-kx\neq 0$. Þar sem $x\neq 0$, þá er þessi jafna jafngild jöfnunni $$ \begin{aligned} 0&=1-k^2(1-x)(1-kx(1-x))\\ &=1-k^2+k^3x-k^3x^2+k^2x-k^3x^2+k^3x^3\\ &=x(1-x)^2k^3-(1-x)k^2+1\\ &=((1-x)k-1)(x(1-x)k^2-(1-x)k-1). \end{aligned} $$ (Þáttunin í síðasta skrefi umritunarinnar fæst með margliðudeilingu, en við vitum $k-1-kx$ er þáttur því allar lausnir $f(x)=x$ hljóta jafnframt að vera lausnir $f(f(x))=x$.) Þar sem $k-1-kx\neq 0$ þá fáum við $$ \begin{aligned}k^2x^2-k(k+1)x+(k+1)=0 \quad * \end{aligned} $$ Þessi síðasta jafna hefur lausn þá og því aðeins að aðgreinirinn $$ D=k^2(k+1)^2-4k^2(k+1)=k^2(k+1)((k+1)-4)=k^2(k+1)(k-3)$$ sé ekki neikvæður. Fyrir $D\gt 0$ eru tvær ólíkar lausnir. Önnur þeirra hlýtur þá að vera frábrugðin lausn $k-1-kx$ og þar sem $x=0$ er ekki lausn, þá fáum við að $f(f(x))=x$ hefur lausn sem er ekki lausn $f(x)=x$ ef $D\gt 0$, það er ef $k\gt 3$. Ef hinsvegar $D=0$, þá er $k=3$ og $x=\frac{k(k+1)}{2k^2}=\frac{k+1}{2k}=\frac{2}{3}$ eina lausn $*$. En $k=3$ og $x=\frac{2}{3}$ uppfylla jöfnuna $k-1-k x=0$ svo $x$ er þá líka lausn $f(x)=x$.

Við höfum þá séð að til er lausn á $f(f(x))=x$ sem er ekki lausn á $f(x)=x$ þá og því aðeins að $k\gt 3$.

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er

Lausn

Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$. Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$, $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$, $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$.

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $P(x)$ vera margliðu af stigi $n-1$ þannig að $P(k)=\frac 1k$ fyrir $k=1$, 2, $\dots$, $n$. Finnið $P(n+1)$.

Lausn

Setjum $Q(x)=xP(x)-1$. Þá gildir fyrir $k=1,\ldots,n$ að $$Q(k)=kP(k)-1=k\cdot\frac{1}{k}-1=0.$$ Margliðan $Q$ er af $n$-ta stigi svo að $Q(x)=a(x-1)\cdots(x-n)$. Finna má gildið á $a$ með því að skoða gildi $Q$ í 0. Nú er $Q(0)=0\cdot P(0)-1=-1$ en einnig er $Q(0)=a(0-1)\cdots(0-n)=(-1)^n\cdot a\cdot n!$ svo að $a=(-1)^{n+1}/n!$. Þá fæst að $$Q(n+1)=a((n+1)-1)\cdots((n+1)-n)=a\cdot n!=(-1)^{n+1}.$$ Því er $(n+1)P(n+1)-1=(-1)^{n+1}$ og $P(n+1)=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}$. Ef $n$ er oddatala, þá er $P(n+1)=\frac{2}{n+1}$, en ef $n$ er slétt tala, þá er $P(n+1)=0$.

Dæmi 17. Neðra stig 1991-92

Látum $p$ vera frumtölu stærri en 11. Summa allra jákvæðra þátta tölunnar $11p$ er

Lausn

Þar sem 11 er frumtala, þá eru þær tölur sem ganga upp í $11p$ tölurnar 1, 11, $p$ og $11p$. Summa þeirra er $1+11+p+11p=12+12p$.

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1991-92

Sýnið að fyrir sérhverjar rauntölur $a, b, c, d \gt 0$ gildir $$ a b c d (a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}+d^{-3})\ge a+b+c+d $$

Lausn

Við notum ójöfnuna um venjulegt og rúmfræðilegt meðaltal til að fá eftirfarandi ójöfnur $$ \begin{aligned} \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} &\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot\frac{1}{b^3}\cdot\frac{1}{c^3}} = \frac{3}{abc},\\ \frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3} &\geq \frac{3}{bcd},\\ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3} &\geq \frac{3}{acd},\\ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{d^3} &\geq \frac{3}{abd}. \end{aligned} $$ Þegar þessar ójöfnur eru lagaðar saman fæst ójafnan $$3(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}) \geq 3(\frac{1}{abc}+\frac{1}{bcd}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{abd}).$$ Deilum með 3 í báðar hliðar og margföldum svo báðar hliðar með $a b c d$, en þá er ójafnan sem sanna átti fengin.

Dæmi 1. Neðra stig 1991-92

Talan $\displaystyle\frac{5^8+5^9}{5^8}$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$\frac{5^8+5^9}{5^8}=\frac{5^8(1+5)}{5^8}=6.$$

Dæmi 18. Neðra stig 1991-92

$ABCD$ er tígull. Látum $K$ vera miðpunkt striksi ns $DC$ og $L$ miðpunkt striksins $BC$. Látum $M$ vera skurðpunkt strikanna $DL$ og $BK$. Ef flatarmál tígulsins $ABCD$ er 1, þá er flatarmál ferhyrningsins $KMLC$ jafnt

Lausn

Athugum að punkturinn $M$ skiptir strikunum $DL$ og $BK$ í hlutföllunum $1:2$ þar sem $M$ er skurðpunktur miðlínanna í þríhyrningnum $BCD$. Látum $P$ og $Q$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $AB$ við strikin $AD$ og $BC$. Látum $R$ og $S$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $BC$ við strikin $AB$ og $DC$. Þá skiptir $M$ strikunum $PQ$ og $RS$ einnig í hlutföllunum $1:2$ því þríhyrningarnir $PMD$ og $QML$ annarsvegar og $RMB$ og $SMK$ hinsvegar eru einslaga. Flatarmál tígulsins $SMQC$ er þá $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ af flatarmáli $ABCD$ og flatarmál hvors þríhyrninganna $KMS$ og $LMQ$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}$ af flatarmáli $ABCD$ því $|KS|=|KC|-|SC|$ er $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ hluti lengdar $DC$. Samtals er flatarmál $KMLC$ þá $\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ af flatarmáli $ABCD$.

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $ABCDEF$ og $FGHIJK$ vera misstóra reglulega sexhyrninga með nákvæmlega einn sameiginlegan punkt $F$ þannig að punktarnir $C$, $F$ og $I$ liggja á beinni línu (sjá mynd). Látum hringinn gegnum punktana $A$, $F$ og $K$ skera línuna $CI$ í punkti $L$ þannig að $L \ne F$. Sýnið að:

(a) $ALK$ er jafnhliða þríhyrningur.

(b) $L$ er miðpunktur striksins $CI$.

Lausn

(a) Hornin í reglulegum sexhyrningi eru öll $120^\circ$. Því er $\angle K F L=60^\circ$. Þá er hornið $\angle K A L$ líka $60^\circ$ því þetta eru ferilhorn sem spanna sama boga. Eins sjáum við að $\angle A F K=60^\circ$ og því er $\angle A L K=60^\circ$. Nú er fengið að tvö horn í þríhyrningnum $A L K$ eru $60^\circ$ og þar með er fengið að $ALK$ er jafnhliða.

(b) Látum $M$ vera miðpunkt sex-hyrningsins $A B C D E F $ og $N$ vera miðpunkt $F G H I J K$. Í reglulegum sexhyrningi þá er miðpunkturinn í sömu fjarlægð frá hverjum hinna sex hornpunkta. Einnig er fjarlægðin frá miðpunktinum til hvers horn-punkt-anna jöfn hlið-arlengd sexhyrningsins. Táknum hliðarlengd $A B C D E F$ með $a$ og hliðarlengd $FGHIJK$ með $b$. Þá er lengd línustriksins $CI$ jöfn $2a+2b$. Viljum sýna að lengd línustriksins $I L$ sé $a+b$, það er, að lengd línustriksins $NL$ sé $a$. Það gerum við með því að sýna að þríhyrningarnir $A K F$ og $L K N$ séu eins. Samkvæmt (a) er línustrikið $A K$ jafnlangt línustrikinu $K L$. Einnig fæst að línustrikið $K F$ er jafnt línustrikinu $K N$. Samkvæmt (a) fáum við að $$\angle A K F=\angle A K L-\angle F K L=60^\circ-\angle F K L,$$ og einnig er $$angle L K N=\angle F K N-\angle F K L=60^\circ-\angle F K L.$$ Þríhyrningarnir $A K F$ og $L K N$ hafa því tvær hliðar eins og hornið á milli hliðanna er líka eins í báðum, því eru þeir eins. Þá er línustrikið $N L$ jafnlangt línustrikinu $A F$ og lengd $A F$ er $a$.