1996-97 | stæ.is

Dæmi 15. Efra stig 1996-97

Maur er á ferð innan í hring. Hann byrjar í punkti $A_1$ á jaðrinum og heldur til punkts $A_2$ sem er líka á jaðrinum. Punkturinn $A_2$ er þannig að strengurinn $A_1A_2$ myndar $35^\circ$ horn við snertil við hringinn í punktinum $A_1$. Síðan heldur hann í átt að punkti $A_3$, en hornið á milli $A_2A_3$ og snertils í $A_2$ er nú $37^\circ$ (sjá mynd). Svona heldur þetta áfram nema hvað að hornið á milli $A_kA_{k+1}$ og snertils við hringinn í $A_{k}$ er nú $(33+2k)^\circ$.

Lausn

Við reiknum stærðir bogana $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$ o.s.frv.\ réttsælis eftir hringnum. Þá er boginn $A_jA_{j+1}=66+4j$ gráður. Punkturinn $A_n$ lendir í $A_1$ þá og því aðeins að jafnan $\sum_{j=1}^{n-1}A_jA_{j+1}=360h$ standist fyrir einhverja heila tölu $h$. Nú er $$ \begin{aligned} \sum_{j=1}^{n-1}A_jA_{j+1}&=\sum_{j=1}^{n-1}(66+4j) =66(n-1)+4\cdot\frac12 n(n-1)\\ &=(n-1)(66+2n). \end{aligned} $$ Jöfnuna hér að ofan, sem segir til um hvort $A_n=A_1$, má því rita sem $(n-1)(66+2n) = h\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5$, eða sem $(n-1)(33+n)=h\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 5$. Nú eru $n-1$ og $33+n$ annað hvort báðar sléttar tölur eða báðar odda, og þar sem margfeldi þeirra er slétt, þá eru þær báðar sléttar. Einnig er $(33+n)-(n-1)=34$ svo 3 getur ekki gengið upp í bæði $33+n$ og $n-1$ því þá gengi 3 einnig upp í 34. Þá er annaðhvort 9 þáttur í $33+n$ eða þá 9 þáttur í $n-1$. Þegar við tökum þetta saman fáum við að $n=18k+1$ eða þá að $n=18k-33$. Fyrstu möguleg gildi $n$ eru þá $3, 19, 21, 37$. Við prófum $n=3$ og fáum $(n-1)(n+33)=2\cdot 35$ sem 4 er ekki þáttur í svo sá möguleiki kemur ekki til greina. Næst prófum við $n=19$ og fáum að $(n-1)(n+33)=18\cdot 52$ sem 5 er ekki þáttur í svo þessi möguleiki kemur ekki heldur til greina. Hinsvegar fæst fyrir $n=21$ að $(n-1)(n+33)=20\cdot 54=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 6$ svo $h=6$ og $A_{21}=A_1$.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 18. Neðra stig 1996-97

Tölurnar frá $1$ upp í $999$, að báðum meðtöldum, eru skrifaðar á blað. Hver er summa allra tölustafanna?

Lausn

Summa tölustafanna breytist ekki þó við byrjum á $0$ í stað $1$ og bætum $0$-um fyrir framan eins og tveggja stafa tölur þannig að allar tölurnar séu þriggja stafa. Nú er ljóst að við höfum skrifað alla tölustafina $0,1,\ldots, 9$ jafn oft. Þar sem við höfum alls skrifað $3000$ tölustafi þá hefur hver verið skrifaður $300$ sinnum og summa þeirra allra því $$300\cdot(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=300\cdot 45=13.500.$$

Dæmi 19. Neðra stig 1996-97

Tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ eru núllstöðvar margliðunnar $$P(x)=x^7+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6$$ Í upptalninguna á núllstöðvunum vantar eina núllstöð, hver er hún?

Lausn

Almennt gildir að ef $r_1,\ldots,r_n$ eru núllstöðvar $n$-ta stigs margliðu $Q(x)$ með forystustuðul $1$, þá er $$ \begin{aligned} Q(x)&=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\\ &=x^n-(r_1+\cdots+r_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nr_1\cdots r_n. \end{aligned} $$ Stuðullinn við næst hæsta veldið er því alltaf summa núllstöðvanna með öfugu formerki. Í margliðunni $P(x)$ er stuðullinn við næst hæsta veldið $0$, svo að summa núllstöðvanna er $0$. Því er núllstöðin sem vantar $-21$.

Dæmi 20. Neðra stig 1996-97

Á myndinni má sjá hring með miðju í $A$ og geisla $9$, og annan minni hring með miðju í $D$ og geisla $4$. Sameiginlegir snertlar $B C$ og $E F$ eru dregnir. Ákvarðið lengd $E F$

Lausn

Skurðpunktur tveggja snertla við hring hefur sömu fjarlægð frá snertipunktunum. Því er $|E F|=|B F|$ og $|E F|=|F C|$. Þá er $|B C|=|B F|+|F C|=2\cdot |E F|$. Drögum nú línu í gegnum $D$ sem er samsíða $B C$ og táknum skurðpunkt þessarar línu við $A B$ með $G$. Þá er $|B C|=|G D|$. Lengd $G D$ má reikna með reglu Pýþagorasar, $$|D G|=\sqrt{|A D|^2-|A G|^2}=\sqrt{(9+4)^2-(9-4)^2} =\sqrt{4\cdot4\cdot9}=12.$$ Þá er $2\cdot |EF|=12$, svo $|EF|=6$.

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?

Lausn

Hver reitur ákvarðast af dálknúmeri sínu, $i$, á bilinu frá $1$ upp í $n$, og línunúmeri sínu, $j$, sem við veljum þannig að fyrsta röðin fær númerið $0$, svo að $j$ liggur á bilinu frá $0$ upp í $n-1$. Talan í reit með dálknúmeri $i$ og línunúmeri $j$ er þá $i+jn$. Hvert dálknúmer kemur nákvæmlega einu sinni fyrir og hvert línunúmer kemur líka nákvæmlega einu sinni fyrir í völdu tölunum svo að summan verður $$ \begin{aligned} &\underbrace{1+2+\cdots+n}_{\text{dálknúmer}} +\underbrace{0+n+2n+\cdots+(n-1)n}_{\text{línunúmer}} \\ =&(1+2+\cdots+n)+(0+1+\cdots+(n-1))n\\ =&\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}(n-1)n^2 \\ =&\frac{1}{2}n(n^2+1). \end{aligned} $$ Þegar $n=5$, þá er svarið $65$.

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina. Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.

Lausn

Táknum miðjur hringanna með $O, O_1$ og $O_2$, en geislar þeirra með $r, r_1$ og $r_2$ eins og sýnt er á myndinni. Látum $M$ tákna miðpunkt striksins $P Q$ og $x$ lengd striksins $O M$. Þá er $r=r_1+r_2$ og ennfremur er $$ \begin{aligned} r^2&=x^2+|MP|^2=x^2+16,\ 2r_1=r+x, \\ 2r_2&=r-x. \end{aligned} $$ Flatarmálið á skyggða svæðinu fæst með því að draga flatarmál litlu hringanna tveggja frá flatarmáli stóra hringsins, og er $$ \begin{aligned} \pi(r^2-r_1^2-r_2^2) & = \pi((r_1+r_2)^2-r_1^2-r_2^2) = 2\pi r_1r_2 \\ &=2\pi\cdot\frac{r+x}{2}\cdot\frac{r-x}{2} = 2\pi\frac{1}{4}(r^2-x^2)= \frac{1}{2}\pi\cdot 16 = 8\pi. \end{aligned} $$

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Lengd kassa vex um $2\%$ og breidd hans um $3\%$, en hæð hans minnkar um $5\%$. Hvernig breytist rúmmál kassans?

Lausn

Segjum að upphaflega hafi lengd kassans verið $l$, breidd hans $b$ og hæð hans $h$. Upphaflega rúmmálið var þá $l\cdot b\cdot h$. Eftir breytinguna er lengdin $\text{1,02}\cdot l$, breiddin $\text{1,03}\cdot b$ og hæðin $\text{0,95}\cdot h$. Rúmmálið eftir breytingu er þá $$ \begin{aligned} (\text{1,02}\cdot l)\cdot (\text{1,03}\cdot b)\cdot (\text{0,95}\cdot h)&=\text{1,02}\cdot \text{1,03}\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &=(1+\text{0,02})\cdot(1+\text{0,03})\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &\lt (1+\text{0,05})\cdot(1-\text{0,05})\cdot lbh\\ &=(1-\text{0,0025})\cdot lbh\\ &\lt lbh \end{aligned} $$ svo það minnkar.

Dæmi 11. Neðra stig 1996-97

Heimski Hans, Mummi meinhorn, Sólveig og Venni vinur liggja öll undir grun um að hafa brotið rúðu í húsi Lalla löggu. Við yfirheyrslu þá kemur eftirfarandi fram:

Hans: „Mummi braut hana.“
Mummi: „Sólveig gerði það.“
Sólveig: „Mummi lýgur.“
Venni: „Ég gerði það ekki.“

Ef aðeins eitt þeirra segir satt og hin þrjú ljúga þá getum við ályktað:

Lausn

Ef Mummi segir satt, þá braut Sólveig rúðuna svo að Venni segir líka satt. Það er í mótsögn við forsendur því aðeins eitt þeirra segir satt. Þar með lýgur Mummi. Sólveig segir þá satt þar sem hún segir Mumma ljúga og því hlýtur Venni að ljúga því aðeins eitt þeirra segir satt. En Venni segir að hann hafi ekki brotið rúðuna, sem er lygi, svo það var Venni sem braut rúðuna.

Dæmi 12. Neðra stig 1996-97

Fimm punktar á hring eru númeraðir $1$, $2$, $3$, $4$ og $5$ eins og sýnt er á myndinni. Fló hoppar á milli punktanna réttsælis þannig að ef hún er í punkti með oddatölunúmeri, þá hoppar hún í næsta punkt, en ef númer punktsins er slétt tala þá hoppar hún yfir einn punkt. Ef flóin byrjar í punkti $5$, í hvaða punkti verður hún þá eftir $1996$ hopp?

Lausn

Flóin hoppar frá $5$ yfir í $1$, þaðan yfir í $2$ og þaðan yfir í $4$ og svo aftur yfir í $1$. Einu punktarnir sem koma til greina eru $1$, $2$ og $4$. Eftir $1, 4, 7,\ldots$ hopp er hún í $1$, eftir $2, 5, 8,\ldots$ hopp er hún í $2$ og eftir $3, 6, 9,\ldots$ hopp er hún í $4$. Til að finna hvar hún er eftir $1996$ hopp, þá deilum við $3$ upp í $1996$ og athugum afganginn. Hann er $1$ svo að flóin hoppglaða er í punkti $1$.

Dæmi 13. Neðra stig 1996-97

Innan í hring með geisla $2$ liggja tveir hringir með geisla $1$ þannig að þeir snertast í miðpunkti stóra hringsins. Til viðbótar er svo dreginn fjórði hringurinn eins og sýnt er á myndinni. Hver er geisli minnsta hringsins?

Lausn

Látum $r$ tákna geisla minnsta hringsins og látum $A, B$ og $C$ vera miðpunkta hringanna með geisla $r$, 1 og 2. Nú er þríhyrningurinn $A B C$ rétthyrndur svo að regla Pýþagorasar gefur að $$(1+r)^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2=1+(2-r)^2.$$ Þegar við einföldum þessa jöfnu fæst að $6r=4$ þannig að $r=\frac{2}{3}$.