E2 | stæ.is

Dæmi 13. Efra stig 1996-97

Reglulegur áttflötungur situr innan í teningi eins og sýnt er á myndinni, þannig að hornpunktar áttflötungsins eru jafnframt miðpunktar hliða teningsins. Hvert er hlutfallið á milli yfirborðsflatarmáls áttflötungsins og yfirborðsflatarmáls teningsins?

Lausn

Þar sem við höfum aðeins áhuga á hlutföllum getum við gert ráð fyrir að hliðarlengd teningsins sé $1$. Yfirborðsflatarmál hans er þá $6$. Hliðarfletir áttflötungsins eru átta jafnhliða þríhyrningar. Brúnalengd áttflötungsins má finna með því að skoða rétthyrndan jafnarma þríhyrning sem hefur sem hornpunkta tvo samliggjandi hornpunkta áttflötungsins ásamt miðpunkti þeirrar brúnar teningsins sem liggur á milli þeirra. Lengd skammhliðanna er $\frac{1}{2}$ svo langhliðin, sem er brúnalengd áttflötungsins, er $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Flatarmál jafnhliða þríhyrnings sem hefur hliðar-lengd $\frac{\sqrt{2}}{2}$ er $\frac{\sqrt{3}}{8}$. Yfirborðsflatarmál áttflötungsins er þá $\sqrt{3}$ svo að hlutfallið milli yfirborðsflatarmáls áttflötungsins og teningsins er $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Dæmi 14. Efra stig 1996-97

Fimm tölustafa tala er búin til með því að nota hvern af tölustöfunum $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ einu sinni. Tölustafirnir sem eru í tuga- og þúsundasætunum eru hvor um sig stærri en tölustafirnir til hliðar við þá. Hvað eru margar slíkar fimm tölustafa tölur til?

Lausn

Auðséð er að $9$ verður að vera annað hvort í tuga- eða þúsundasætinu. Segjum að við setjum $9$ í tugasætið. Ekki gengur að setja $1$ eða $3$ í þúsundasætið. Ef við setjum $5$ í þúsundasætið þá má $7$ ekki vera við hliðina á $5$ svo að $7$ verður að vera fremsti tölustafurinn, síðan höfum við tvo möguleika á að setja $1$ og $3$ í einingar- og hundraðasætið. Því eru tvær svona tölur þannig að $9$ sé í tugasætinu en $5$ í þúsundasætinu. Ef við setjum $7$ í þúsundasætið þá getum við raðað hinum tölustöfunum á hvern þann hátt sem við viljum, alls $6$ möguleikar. Tölur sem uppfylla skilyrðin og hafa $9$ í tugasætinu eru því $8$. Vegna samhverfu eru slíkar tölur sem hafa $9$ í þúsundasætinu einnig $8$ talsins.

Dæmi 15. Efra stig 1996-97

Maur er á ferð innan í hring. Hann byrjar í punkti $A_1$ á jaðrinum og heldur til punkts $A_2$ sem er líka á jaðrinum. Punkturinn $A_2$ er þannig að strengurinn $A_1A_2$ myndar $35^\circ$ horn við snertil við hringinn í punktinum $A_1$. Síðan heldur hann í átt að punkti $A_3$, en hornið á milli $A_2A_3$ og snertils í $A_2$ er nú $37^\circ$ (sjá mynd). Svona heldur þetta áfram nema hvað að hornið á milli $A_kA_{k+1}$ og snertils við hringinn í $A_{k}$ er nú $(33+2k)^\circ$.

Lausn

Við reiknum stærðir bogana $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$ o.s.frv.\ réttsælis eftir hringnum. Þá er boginn $A_jA_{j+1}=66+4j$ gráður. Punkturinn $A_n$ lendir í $A_1$ þá og því aðeins að jafnan $\sum_{j=1}^{n-1}A_jA_{j+1}=360h$ standist fyrir einhverja heila tölu $h$. Nú er $$ \begin{aligned} \sum_{j=1}^{n-1}A_jA_{j+1}&=\sum_{j=1}^{n-1}(66+4j) =66(n-1)+4\cdot\frac12 n(n-1)\\ &=(n-1)(66+2n). \end{aligned} $$ Jöfnuna hér að ofan, sem segir til um hvort $A_n=A_1$, má því rita sem $(n-1)(66+2n) = h\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5$, eða sem $(n-1)(33+n)=h\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 5$. Nú eru $n-1$ og $33+n$ annað hvort báðar sléttar tölur eða báðar odda, og þar sem margfeldi þeirra er slétt, þá eru þær báðar sléttar. Einnig er $(33+n)-(n-1)=34$ svo 3 getur ekki gengið upp í bæði $33+n$ og $n-1$ því þá gengi 3 einnig upp í 34. Þá er annaðhvort 9 þáttur í $33+n$ eða þá 9 þáttur í $n-1$. Þegar við tökum þetta saman fáum við að $n=18k+1$ eða þá að $n=18k-33$. Fyrstu möguleg gildi $n$ eru þá $3, 19, 21, 37$. Við prófum $n=3$ og fáum $(n-1)(n+33)=2\cdot 35$ sem 4 er ekki þáttur í svo sá möguleiki kemur ekki til greina. Næst prófum við $n=19$ og fáum að $(n-1)(n+33)=18\cdot 52$ sem 5 er ekki þáttur í svo þessi möguleiki kemur ekki heldur til greina. Hinsvegar fæst fyrir $n=21$ að $(n-1)(n+33)=20\cdot 54=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 6$ svo $h=6$ og $A_{21}=A_1$.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 19. Neðra stig 1996-97

Tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ eru núllstöðvar margliðunnar $$P(x)=x^7+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6$$ Í upptalninguna á núllstöðvunum vantar eina núllstöð, hver er hún?

Lausn

Almennt gildir að ef $r_1,\ldots,r_n$ eru núllstöðvar $n$-ta stigs margliðu $Q(x)$ með forystustuðul $1$, þá er $$ \begin{aligned} Q(x)&=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\\ &=x^n-(r_1+\cdots+r_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nr_1\cdots r_n. \end{aligned} $$ Stuðullinn við næst hæsta veldið er því alltaf summa núllstöðvanna með öfugu formerki. Í margliðunni $P(x)$ er stuðullinn við næst hæsta veldið $0$, svo að summa núllstöðvanna er $0$. Því er núllstöðin sem vantar $-21$.

Dæmi 16. Neðra stig 1996-97

Í Langtíburtistan er haldin stærðfræðikeppni sem í eru $25$ dæmi. Fyrir rétt svar eru gefin $4$ stig en eitt stig er dregið frá fyrir rangt svar. Keppandi sem svaraði öllum spurningunum fékk $70$ stig. Hvað svaraði hann mörgum spurningum rétt?

Lausn

Ef keppandinn svaraði $x$ dæmum rétt, þá svaraði hann $25-x$ dæmum rangt því hann svaraði öllum dæmunum í keppninni. Hann hlaut þá $4x$ stig fyrir rétt svör en frá voru dregin $25-x$ stig fyrir röng svör. Hann hlaut $70$ stig svo að $4x-(25-x)=70$. Þá er $5x=95$ svo að $x=19$.

Dæmi 12. Efra stig 1995-96

Finnið allar rauntölulausnir jöfnunnar $$x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0.$$

Lausn

Byrjum á að umrita stæðuna á vinstri hlið jöfnunnar $$ \begin{aligned} x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8 &=(x^2-5x+4)+\left(\frac{1}{x^2}-5\frac{1}{x}+4\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\left(\frac{1}{x}-4\right)\left(\frac{1}{x}-1\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\frac{1-4x}{x}\cdot\frac{1-x}{x}\\ &=\left((x-4)-\frac{1-4x}{x^2}\right)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^3-4x^2+4x-1)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^2-3x+1)(x-1)^2 \end{aligned} $$ Sjáum þá að lausnir jöfnunnar eru $x=1$ og rætur margliðunnar $x^2-3x+1$, en þær eru $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.

Dæmi 15. Efra stig 1995-96

Hvert er yfirborðsflatarmál og rúmmál hlutar sem fæst með því að snúa ferningi með hliðarlengd $a$ um hornalínu?

Lausn

Svar: Rúmmál: $\frac{\sqrt2}{6}\pi a^3$. Yfirborðsflatarmál: $\sqrt2\pi a^2$.

Lengd hornalínunnar í ferningnum er $a\sqrt{2}$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Þegar við snúum ferningi svona um aðra hornalínuna, þá fáum við sama svæði og þegar við límum saman grunnfleti tveggja keila af hæð $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ og með grunnflöt með þvermál $\sqrt{2}\, a$. En rúmmál slíkrar keilu er þriðjungur af margfeldi flatarmáls grunnflatar hennar og hæðar eða $$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^3.$$ Rúmmál hlutarins er því $$ \frac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3.$$

Snúum okkur þá að því að reikna yfirborðsflatarmál keilanna. Klippum þær eftir endilöngu og fletjum þær út. Fáum þá hringgeira með geisla $a$ sem hefur boga af lengd sem er jöfn ummáli grunnflatar keilunnar eða $\sqrt{2} a\pi$. Horn hringgeirans í bogamálseiningum er þá $\sqrt{2} \pi$ svo að flatarmál hans er $\frac{\sqrt {2}\pi}{2\pi}\pi a^2$ þar sem $\pi a^2$ er flatarmál hrings með geisla $a$. Yfirborðsflatarmál hlutarins er þá $\sqrt{2} \pi a^2$.

Dæmi 11. Efra stig 1995-96

Tölurnar $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$, eru skrifaðar í röð í bók þannig að á hverri síðu er 100 tölur. Byrjað er að skrifa efst á síðu $7$. Á hvaða síðu lendir talan $11.111$?

Lausn

Látum $a_n$ vera $n$—tu töluna sem við skrifum. Þá er $a_n=3(n-1)+2$. Nú er $11.111=111\cdot 100+11$ svo talan 11.111 er 11 talan sem við skrifum á 112. síðuna sem við skrifum á. En nú byrjuðum við ekki að skrifa fyrr en á blaðsíðu 7 í bókinni svo 112. síðan sem við skrifum á er síða númer $112+6=118$ í bókinni.

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Þríhyrningurinn $A B C$ á myndinni er rétthyrndur, auk þess er $|D E|=\frac{1}{4}|A B|$. Hvað er flatarmál skyggða rétthyrnda ferhyrningsins stór hluti af flatarmáli þríhyrningsins?

Lausn

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Talnamengin $A_1, A_2, A_3,\ldots$ eru mynduð samkvæmt eftirfarandi mynstri: $$A_1=\{1\},\, A_2=\{2, 3\},\, A_3=\{4, 5, 6\},\, A_4=\{7, 8, 9, 10\}, \ldots$$ Hver er summa talnanna í menginu $A_{21}$?

Lausn

Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$