1991-92 | stæ.is

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Myndin sýnir tvo ferninga, annan með hring innritaðan og hinn innritaðan í sama hring. Ef mismunurinn á flatarmálum ferninganna er $32$, þá er geisli hringsins

Lausn

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$, þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$. Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.

Dæmi 14. Efra stig 1991-92

Ákvarðið allar lausnir á jöfnunni $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$.

Lausn

Höfum að $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\cdot b+b^2)=(a-b)((a-b)^2+3 a b). $$ Setjum $a=\sqrt[3]{x+9}$ og $b=\sqrt[3]{x-9}$ og fáum $18 = 3\cdot(3^2+3a b)$ eða $a b=-1$. Þá er $$\sqrt[3]{x^2-81}=\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=a b=-1$$ og þar með eru tvær lausnir, $x=\sqrt{80}$ og $x=-\sqrt{80}$.

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Skál er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $2:1$. Önnur skál, sem tekur tvöfalt meira en sú fyrsta, er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $3:1$. Ef innihaldi skálanna tveggja er nú hellt í þriðja ílátið, þá er hlutfallið á milli vatns og ediks

Lausn

Látum $x$ tákna stærð minni skálarinnar í lítrum. Þá eru $\frac{1}{3}x$ lítrar ediks í fyrstu skálinni og $\frac{1}{4}\cdot 2x$ lítrar ediks í annarri skálinni. Því eru samanlagt $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{5}{6}x$ lítrar ediks í fyrstu skálunum tveimur. Þegar búið er að hella yfir í þriðju skálina, þá eru þar samtals $3x$ lítrar og þar af eru $(\frac{5}{6}x)/(3x)=\frac{5}{18}$ hlutar edik. Þá eru $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$ hlutar vatn, svo hlutfall vatns og ediks er $13:5$.

Dæmi 16. Efra stig 1991-92

Reiknið summu logra (með grunntölu $10$) allra þátta tölunnar $1.000.000$.

Lausn

Við minnumst þess að logri margfeldis tveggja talna er jafn summu logra talnanna. Summa logra talnanna sem ganga upp í 1.000.000 er því jöfn logranum af margfeldi allra slíkra talna. Athugum nú að $1.000.000=2^6\cdot5^6$. Fjöldi þátta er því $7^2=49$. Athugum nú að ef $d$ er þáttur tölu $n$, þá er $n/d$ það einnig. Þættirnir koma því í pörum $d$ og $n/d$ ef $n\neq n/d$ , og margfeldi þeirra er $d\cdot n/d=n$. Ef $d=n/d$, þá er $d^2=n$ svo að $d$ er þá stakur þáttur. (Af þessu má því álykta að fjöldi þátta tölu $n$ er oddatala ef og aðeins ef $n$ er ferningstala.) Talan $1.000.000$ hefur þá $24$ tvenndir af deilum með margfeldi $1.000.000$ og staka deilinn $1.000$. Margfeldi allra deila er því $$ 1.000.000^{24}\cdot 1.000=10^{6\cdot24+3}=10^{147} $$ og logrinn af þessu margfeldi er 147.

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Maja sló grasflöt sem var rétthyrningur $20$ m sinn um $12$ m að stærð. Hún byrjaði á því að slá ræmu umhverfis flötinn og hélt svo áfram eins og sýnt er á myndinni. Ef sláttuvélin sló braut sem var $1$ m á breidd, hversu oft þurfti Maja að beygja um $90^\circ$ til vinstri?

Lausn

Hugsum okkur að upp á blaðinu sé norður. Maja byrjar því í norðvestur horni blettsins og gengur í suður. Þar sem bletturinn er stærri á austur—vestur hliðina heldur en á norður—suður hliðina, þá endar Maja á því að ganga í austur eða vestur. Hún labbar $12$ sinnum í austur eða vestur og þar sem hún labbar í austur áður en hún labbar í vestur í fyrsta skipti, þá endar hún á því að labba í vestur. Í hvert skipti sem Maja byrjar að slá í suður verður hún að taka fjórar vinstribeygjur áður en hún byrjar næst að slá í suður. Hinsvegar þarf hún ekki að snúa sér í suður í síðasta skiptið sem hún labbar í vestur, svo í síðasta hringnum tekur hún aðeins þrjár vinstribeygjur. Alls eru vinstri beygjurnar þá $5\cdot 4 + 3=23$.

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Látum $k$ vera tiltekna heila tölu. Skilgreinum runu $a_n=2^n k+1$ fyrir $n=0,1,2,\ldots$.

(a) Sannið að ekki sé til frumtala $p$ sem gengur upp í alla liði rununnar.

(b) Sannið að ekki séu til frumtölur $p$ og $q$ þannig að sérhver liður í rununni sé deilanlegur annað hvort með $p$ eða með $q$.

Lausn

(a) Við sýnum að það er ekki einu sinni til frumtala $p$ sem gengu r upp í $a_0$ og $a_1$. Ef svo væri myndi hún einnig ganga upp í $2\cdot a_0-a_1=1$, sem er fráleitt.

(b) Gerum ráð fyrir að slíkar frumtölur séu til. Af ofansögðu er ljóst að ef önnur þeirra, segjum $p$, gengur upp í $a_0$ þá hlýtur $q$ að ganga upp í $a_1$. Nú er $2\cdot a_1-a_2=1$ svo að $q$ gengur ekki upp í $a_2$. Þá hlýtur $p$ að ganga upp í $a_2$ og þar með $4\cdot a_0-a_2=3$ svo að $p=3$. Þá er $q\ne3$ svo $q$ gengur heldur ekki upp í $a_3$ því $4\cdot a_1-a_3=3$. Frumtalan $p$ gengur því einnig upp í $a_3$ og þar með einnig upp í $2\cdot a_2-a_3=1$ sem er fráleitt. Slíkar frumtölur $p$ og $q$ eru því ekki til.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Dæmi 14. Efra stig 1991-92

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Dæmi 16. Efra stig 1991-92

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK