1991-92 | stæ.is

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $P(x)$ vera margliðu af stigi $n-1$ þannig að $P(k)=\frac 1k$ fyrir $k=1$, 2, $\dots$, $n$. Finnið $P(n+1)$.

Lausn

Setjum $Q(x)=xP(x)-1$. Þá gildir fyrir $k=1,\ldots,n$ að $$Q(k)=kP(k)-1=k\cdot\frac{1}{k}-1=0.$$ Margliðan $Q$ er af $n$-ta stigi svo að $Q(x)=a(x-1)\cdots(x-n)$. Finna má gildið á $a$ með því að skoða gildi $Q$ í 0. Nú er $Q(0)=0\cdot P(0)-1=-1$ en einnig er $Q(0)=a(0-1)\cdots(0-n)=(-1)^n\cdot a\cdot n!$ svo að $a=(-1)^{n+1}/n!$. Þá fæst að $$Q(n+1)=a((n+1)-1)\cdots((n+1)-n)=a\cdot n!=(-1)^{n+1}.$$ Því er $(n+1)P(n+1)-1=(-1)^{n+1}$ og $P(n+1)=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}$. Ef $n$ er oddatala, þá er $P(n+1)=\frac{2}{n+1}$, en ef $n$ er slétt tala, þá er $P(n+1)=0$.

Dæmi 17. Neðra stig 1991-92

Látum $p$ vera frumtölu stærri en 11. Summa allra jákvæðra þátta tölunnar $11p$ er

Lausn

Þar sem 11 er frumtala, þá eru þær tölur sem ganga upp í $11p$ tölurnar 1, 11, $p$ og $11p$. Summa þeirra er $1+11+p+11p=12+12p$.

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1991-92

Sýnið að fyrir sérhverjar rauntölur $a, b, c, d \gt 0$ gildir $$ a b c d (a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}+d^{-3})\ge a+b+c+d $$

Lausn

Við notum ójöfnuna um venjulegt og rúmfræðilegt meðaltal til að fá eftirfarandi ójöfnur $$ \begin{aligned} \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} &\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot\frac{1}{b^3}\cdot\frac{1}{c^3}} = \frac{3}{abc},\\ \frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3} &\geq \frac{3}{bcd},\\ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3} &\geq \frac{3}{acd},\\ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{d^3} &\geq \frac{3}{abd}. \end{aligned} $$ Þegar þessar ójöfnur eru lagaðar saman fæst ójafnan $$3(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}) \geq 3(\frac{1}{abc}+\frac{1}{bcd}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{abd}).$$ Deilum með 3 í báðar hliðar og margföldum svo báðar hliðar með $a b c d$, en þá er ójafnan sem sanna átti fengin.

Dæmi 1. Neðra stig 1991-92

Talan $\displaystyle\frac{5^8+5^9}{5^8}$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$\frac{5^8+5^9}{5^8}=\frac{5^8(1+5)}{5^8}=6.$$

Dæmi 18. Neðra stig 1991-92

$ABCD$ er tígull. Látum $K$ vera miðpunkt striksi ns $DC$ og $L$ miðpunkt striksins $BC$. Látum $M$ vera skurðpunkt strikanna $DL$ og $BK$. Ef flatarmál tígulsins $ABCD$ er 1, þá er flatarmál ferhyrningsins $KMLC$ jafnt

Lausn

Athugum að punkturinn $M$ skiptir strikunum $DL$ og $BK$ í hlutföllunum $1:2$ þar sem $M$ er skurðpunktur miðlínanna í þríhyrningnum $BCD$. Látum $P$ og $Q$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $AB$ við strikin $AD$ og $BC$. Látum $R$ og $S$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $BC$ við strikin $AB$ og $DC$. Þá skiptir $M$ strikunum $PQ$ og $RS$ einnig í hlutföllunum $1:2$ því þríhyrningarnir $PMD$ og $QML$ annarsvegar og $RMB$ og $SMK$ hinsvegar eru einslaga. Flatarmál tígulsins $SMQC$ er þá $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ af flatarmáli $ABCD$ og flatarmál hvors þríhyrninganna $KMS$ og $LMQ$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}$ af flatarmáli $ABCD$ því $|KS|=|KC|-|SC|$ er $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ hluti lengdar $DC$. Samtals er flatarmál $KMLC$ þá $\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ af flatarmáli $ABCD$.

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $ABCDEF$ og $FGHIJK$ vera misstóra reglulega sexhyrninga með nákvæmlega einn sameiginlegan punkt $F$ þannig að punktarnir $C$, $F$ og $I$ liggja á beinni línu (sjá mynd). Látum hringinn gegnum punktana $A$, $F$ og $K$ skera línuna $CI$ í punkti $L$ þannig að $L \ne F$. Sýnið að:

(a) $ALK$ er jafnhliða þríhyrningur.

(b) $L$ er miðpunktur striksins $CI$.

Lausn

(a) Hornin í reglulegum sexhyrningi eru öll $120^\circ$. Því er $\angle K F L=60^\circ$. Þá er hornið $\angle K A L$ líka $60^\circ$ því þetta eru ferilhorn sem spanna sama boga. Eins sjáum við að $\angle A F K=60^\circ$ og því er $\angle A L K=60^\circ$. Nú er fengið að tvö horn í þríhyrningnum $A L K$ eru $60^\circ$ og þar með er fengið að $ALK$ er jafnhliða.

(b) Látum $M$ vera miðpunkt sex-hyrningsins $A B C D E F $ og $N$ vera miðpunkt $F G H I J K$. Í reglulegum sexhyrningi þá er miðpunkturinn í sömu fjarlægð frá hverjum hinna sex hornpunkta. Einnig er fjarlægðin frá miðpunktinum til hvers horn-punkt-anna jöfn hlið-arlengd sexhyrningsins. Táknum hliðarlengd $A B C D E F$ með $a$ og hliðarlengd $FGHIJK$ með $b$. Þá er lengd línustriksins $CI$ jöfn $2a+2b$. Viljum sýna að lengd línustriksins $I L$ sé $a+b$, það er, að lengd línustriksins $NL$ sé $a$. Það gerum við með því að sýna að þríhyrningarnir $A K F$ og $L K N$ séu eins. Samkvæmt (a) er línustrikið $A K$ jafnlangt línustrikinu $K L$. Einnig fæst að línustrikið $K F$ er jafnt línustrikinu $K N$. Samkvæmt (a) fáum við að $$\angle A K F=\angle A K L-\angle F K L=60^\circ-\angle F K L,$$ og einnig er $$angle L K N=\angle F K N-\angle F K L=60^\circ-\angle F K L.$$ Þríhyrningarnir $A K F$ og $L K N$ hafa því tvær hliðar eins og hornið á milli hliðanna er líka eins í báðum, því eru þeir eins. Þá er línustrikið $N L$ jafnlangt línustrikinu $A F$ og lengd $A F$ er $a$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1991-92

Dæmi 17. Neðra stig 1991-92

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1991-92

Dæmi 1. Neðra stig 1991-92

Dæmi 18. Neðra stig 1991-92

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK