Í þríhyrningi $A B C$ gildir að $b\geq a$. Táknum með $M$ miðpunkt hliðarinnar $c$ og með $H$ fótpunkt hæðarinnar frá $C$. Sýnið að
$$|M H|=\frac{b^2-a^2}{2 c}.$$
Lausn
Ef við beitum reglu Pýþagorasar á þríhyrningana $B H C$ og $A H C$ fæst $$a^2-|BH|^2=|CH|^2=b^2-|AH|^2$$
svo $b^2-a^2=|AH|^2-|BH|^2$. Við vitum einnig að $$|M H|=|A H|-|A M|\quad \text{og}\quad |M H|=|B M|-|B H|$$
því $b\geq a$. Ef við leggjum þessar tvær jöfnur saman fæst
$$ 2|M H|= |A H|-|A M|+|B M|-|B H|=|A H|-|B H|$$
þar sem $|A M|=|B M|$. Af þessu sést að
$$
\begin{aligned}
\frac{b^2-a^2}{2c} &= \frac{|A H|^2-|B H|^2}{2 c}
= \frac{(|A H|+|B H|)(|A H|-|B H|)}{2c}\\
&= \frac{c(|A H|-|B H|)}{2c}
= \frac{|A H|-|B H|}{2}\\
&= |M H|.
\end{aligned}
$$