Þegar $(x^{-1}+y^{-1})^{-1}$ er einfaldað sést að þessi stærð er jöfn
Höfum að $$(x^{-1}+y^{-1})^{-1}= \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^{-1}= \left(\frac{y+x}{xy}\right)^{-1}=\frac{xy}{x+y}.$$
Gefnar eru $n$ tölur, ein er jöfn $1-\frac{1}{n}$ og hinar eru allar jafnar $1$. Hvert er meðaltal talnanna?
Meðaltal talnanna er $$\frac{\big(1-\frac{1}{n}\big)+(n-1)\cdot 1}{n} =\frac{n-\frac{1}{n}}{n}=1-\frac{1}{n^2}.$$
Talan $\left(0,1 + \frac{1}{0,1}\right)^2$ er jöfn
Höfum að $$\left(0,1+\frac{1}{0,1}\right)^2=(0,1+10)^2 =0,01+2+100=102,01.$$
Gildið á $6(12-3^2)-14$ er
Höfum að $$6(12-3^2)-14=6(12-9)-14=6\cdot 3-14=18-14=4.$$
Talan $\displaystyle\frac{5^8+5^9}{5^8}$ er jöfn
Höfum að $$\frac{5^8+5^9}{5^8}=\frac{5^8(1+5)}{5^8}=6.$$
Talan $\displaystyle\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}$ er jöfn
Höfum að $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}=\sqrt{16\sqrt{16}}=\sqrt{64}=8.$
Talan $\displaystyle\frac{\frac{3}{7} -1}{1-\frac{7}{3}}$ er jöfn
Höfum að $$\frac{\frac{3}{7} - 1}{1-\frac{7}{3}} =\frac{ -\frac{4}{7} }{ -\frac{4}{3} }=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{7}.$$
Ef talan $\displaystyle\frac{5(10^{12}-1)}{9}$ er skrifuð í tugakerfinu, hversu oft kemur tölustafurinn 5 fyrir?
Höfum að$$ \begin{aligned} \frac{5(10^{12}-1)}{9}&=\frac{5}{9}\cdot 999.999.999.999 =5\cdot 111.111.111.111\\ &=555.555.555.555. \end{aligned}$$
Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er
Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$. Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$, $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$, $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$.
Krossið við þá jöfnu sem samsvarar eftirfarandi staðhæfingu. Þreföld summan af 5 og þriðjungnum af 9 er fjórðungur mismunarins á 100 og 4
Svar: $3 \cdot (5 + \frac{1}{3} \cdot 9) = \frac{1}{4} \cdot (100 - 4)$.
Lausn: Summa $5$ og þriðjungs $9$ er $5 + \frac{1}{3}\cdot 9$ og þreföld þessi stærð er $3\cdot (5 + \frac{1}{3}\cdot 9)$. Hún er jöfn fjórða hluta mismunar $100$ og $4$, það er fjórða hluta $100 - 4$ sem er $\frac{1}{4}\cdot (100 - 4)$. (Þetta er dæmi úr Dæmasafn fyrir Alþýðu- og Gagnfræðiskóla eftir Guðmund Arnlaugsson og Þorstein Egilsson, sem gefið var út 1938.)
