1994-95 | stæ.is

Dæmi 10. Efra stig 1994-95

Á þremur skerjum sitja $15$ svartbakar og $14$ hettumávar. Á hverju skeri eru að minnsta kosti $4$ svartbakar og $2$ hettumávar. Einnig eru annað hvort fleiri svartbakar en hettumávar á hverju skeri, eða þá að svartbakarnir og hettumávarnir eru jafn margir. Hver er mesti mögulegi fjöldi fugla á skeri?

Lausn

Röðum fulgunum á skerin. Fyrst setjum við $4$ svartbaka og $2$ hettumáva á hvert sker. Þá eru eftir $15-3\cdot 4=3$ svartbakar og $14-3\cdot 2=8$ hettumávar. Sjáum þá að það geta í hæsta lagi verið $7$ svartbakar á sama skeri og þar sem hettumávarnir eru í hæsta lagi jafn margir svartbökunum þá geta í hæsta lagi verið 14 fuglar á sama skeri. Við sýnum að það er hægt að koma $14$ fuglum á sama skerið.

Setjum nú alla svartbakana sem eftir eru á fyrsta skerið. Við getum sett $5$ hettumáva í viðbót á það sker þannig að þar séu hettumávarnir jafn margir svartbökunum, alls $14$ fuglar. Þá eru eftir $3$ hettumávar og við getum sett tvo þeirra á annað skerið þannig að þar séu $4$ svartbakar og $4$ hettumávar og einn á þriðja og síðasta skerið þannig að þar séu $4$ svartbakar og $3$ hettumávar.

Dæmi 11. Efra stig 1994-95

Finnið allar náttúrulegar tölur $m$ og $n$ þannig að $m^2-n^2=72$.

Lausn

Nú er $$(m+n)(m-n)=m^2-n^2=72=2^3\cdot 3^2$$ og út frá frumþáttuninni á $72$ getum við gert okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $m+n$ og $m-n$ eftir að við höfum tekið eftir að $m+n \gt m-n$ og að $m+n$ og $m-n$ eru báðar oddatölur eða báðar sléttar til að $m$ og $n$ séu heilar tölur.

Svarið lesum við svo úr töflunni.

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Margfeldið $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{199^2}\right)\left(1-\frac{1}{200^2}\right)$$ er jafnt og

Lausn

Athugum að $$1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$$ Því er margfeldið jafnt margfeldinu $$ \begin{aligned} &\frac{2-1}{2}\cdot\frac{2+1}{2}\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{3+1}{3}\cdots\frac{199-1}{199}\cdot\frac{199+1}{199}\cdot \frac{200-1}{200}\cdot \frac{200+1}{200}\\ =\;& \frac12\cdot\frac32\cdot\frac23\cdot\frac43\cdots\frac{198}{199}\cdot\frac{200}{199}\cdot\frac{199}{200}\cdot\frac{201}{200} =\frac{1}{2}\cdot \frac{201}{200}=\frac{201}{400}.\end{aligned} $$

Dæmi 16. Neðra stig 1994-95

Setjum $P=2^{1994}+2^{-1994}$ og $Q=2^{1994}-2^{-1994}$. Reiknið $P^2-Q^2$.

Lausn

Höfum að $P^2-Q^2=(P-Q)(P+Q)=2\cdot 2^{-1994}\cdot 2\cdot2^{1994}=4$.

Dæmi 17. Neðra stig 1994-95

Látum $a,b,c,d$ tákna tölustafi. Finnið fjögurra stafa tölu $a b c d$ þannig að $$9\cdot a b c d=d c b a.$$

Lausn

Nú er $9\cdot a b c d=10\cdot a b cd -a b c d=a b c d 0-a b c d$ svo jafnan $9\cdot a b c d=d c b a$ er jafngild jöfnunni $a b c d 0=a b c d+d c b a$.

Nú er summa tveggja talna í menginu ${0,1,\ldots,9}$ í mesta lagi 18 svo við þurfum í mesta lagi að geyma einn þegar við leggjum saman í einingasætinu. En þá er summan í tugasætinu mest 19 svo þar þurfum við einnig í mesta lagi að geyma einn og svo koll af kolli. Þar sem $a$ er geymdur þegar lagt er saman í þúsundasætinu sjáum við að $a=1$. Þegar við lítum á einingasætið sjáum við þá að $d=9$ og einn er geymdur svo $1+c+b$ er 9 eða 19 og þá $c+b$ jafnt $8$ eða $18$. En seinna tilfellið kemur ekki til greina því þá er nauðsynlega $b=9$ en þegar við lítum á þúsundasætin sjáum við að $b$ er annaðhvort 0 eða 1 eftir því hvort 1 er geymdur frá hundruðasætunum. Því er $c+b=8$ og þá er enginn geymdur yfir í hundruðasætið. Summan þar er því $b+c=c$ svo að $b=0$ og þá er $c=8$. Talan okkar er því $abcd=1089$ og sjálfsagt að prófa svarið með því að reikna $9\cdot 1089=9000+720+81=9801$.

Dæmi 18. Neðra stig 1994-95

Á myndinni er $|A B|=|A C|$ og $|C B|=|C P|=|P Q|=|A Q|$. Finnið hornið $B A C$.

Lausn

Táknum hornið $\angle BAC$ með ${\alpha}$ og hornið $\angle A B C$ með ${\beta}$. Fyrst $|A Q|=|P Q|$, þá er $\angle A P Q={\alpha}$ og þar með $\angle P Q C=2{\alpha}$. Nú er $|P Q|=|P C|$ og því er einnig $\angle P C Q=2\alpha$ svo að $\angle C P Q=180^\circ-4\alpha$. Einnig er $|C B|=|C P|$ svo að $\angle B P C=\beta$ og því er summa hornanna þriggja með toppunkt $P$ jöfn \begin{align*} 180^\circ&=\angle A P Q+\angle Q P C+\angle B P C\\ &=\alpha+(180^\circ-4\alpha)+\beta=180^\circ-3\alpha+\beta. \end{align*} Þá er $\beta=3\alpha$. Þar sem $|A B|=|A C|$, þá er $\angle B C A=\beta$. Summa horna þríhyrningsins $B P C$ er $180^\circ$ svo \begin{align*} 180^\circ&=\angle B P C+\angle P B C+\angle B C P\\ &=\beta+\beta+(\beta-2\alpha)=3\beta-2\alpha=9\alpha-2\alpha=7\alpha \end{align*} og því $\alpha=(180/7)^\circ=\left(25\frac{5}{7}\right)^\circ$.

Dæmi 19. Neðra stig 1994-95

Notaðar eru eldspýtur til að búa til myndir eins og hér til hliðar. Ef haldið er áfram á sama hátt, hvað þarf þá margar eldspýtur til að búa til svona mynd með 10 eldspýtur á hverri hlið?

Lausn

Athugum að við getum búið til myndina með hliðarlengd $n$ út frá mynd með hliðarlengd $n-1$ með því að raða þríhyrningum sem eru búnir til úr þremur eldspýtum á hvern punkt á einni hliðinni sem hefur lengd $n-1$. Ef $a_n$ táknar fjölda eldspýta sem þarf til að búa til mynd með hliðarlengd $n$, þá er því $a_n=a_{n-1}+3(n-1)$. Fáum að $$ \begin{aligned} a_{10}&=a_9+3\cdot 9=a_8+3\cdot 8+3\cdot 9=\cdots=a_1+3\cdot (2+3+\cdot+10)\\ &=3\cdot (1+2+\cdots+10)=3\cdot 5\cdot 11=150+15=165. \end{aligned} $$

Dæmi 20. Neðra stig 1994-95

Hver er summa allra þriggja stafa talna sem innihalda bara tölustafina $1, 3, 5, 7, 9$.

Lausn

Við ætlum að leggja saman allar tölur af gerðinni $$ x\cdot 100+y\cdot 10+z, $$ þar sem $x,y$ og $z$ eru oddatölur á bilinu $1$ til $9$. Í hverju sæti kemur hver talnanna $1,3,5,7$ og $9$ fyrir $25$ sinnum því þegar við höfum valið eina þeirra í eitt sætið, þá má velja tölur í hin sætin á $5\cdot5=25$ vegu. Því er summan $$ (1+3+5+7+9)\cdot 25\cdot(100+10+1)=25\cdot 25\cdot 111=69.375. $$

Dæmi 21. Neðra stig 1994-95

Í hvert svæðanna A, B, C, D, E, F, G er í byrjun lögð króna þannig að þorskurinn snúi upp. Tvær aðgerðir eru leyfilegar: (1) snúa öllum krónunum innan einhvers hringsins við; (2) sjá til þess að þorskurinn snúi upp á öllum krónunum innan einhvers hrings.

Lausn

(a) Eftirfarandi myndaruna sýnir hvernig þetta er gert (ef þorskurinn snýr upp sýnum við það með hvítum hring en svörtum ef risinn snýr upp):

Á mynd (a) er beitt aðgerð (1) á hring I til að fá mynd (b). Á mynd (b) er beitt aðgerð (2) á hring II til að fá mynd (c). Á mynd (c) er beitt aðgerð (1) á hring II til að fá mynd (d). Á mynd (d) er beitt aðgerð (2) á hring III til að fá mynd (e). Á mynd (e) er beitt aðgerð (1) á hring III til að fá mynd (f).

(b) Við sýnum: Í hverri stöðu sem upp getur komið er að minnsta kosti einn hringur með sléttum fjölda risa. Þar með getur sú staða að risinn snúi aðeins upp á krónunni á svæði $A$ ekki komið upp.

Í upphafi eru $0$ risar í öllum hringunum svo þeir innihalda allir sléttan fjölda af risum. Eftir að við höfum gert nokkrar aðgerðir skulum við gera ráð fyrir því að minnsta kosti einn hringur hafi sléttan fjölda risa í reitum sínum. Án takmörkunar getum við gert ráð fyrir að það sé hringur I. Ef aðgerð (2) er framkvæmd í næsta skrefi, þá fæst hringur með $0$ risa. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring I, þar sem $0$, $2$ eða $4$ risar snúa upp, þá snúa $4-0=4$, $4-2=2$ eða $4-4=0$ risar upp eftir aðgerðina. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring II eða III, en með því að skipta hugsanlega um nöfn á hringum II og III getum við gert ráð fyrir að það sé hringur II, þá gildir eitt af tvennu: (i) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa mismunandi, þá gera þær það áfram eftir að aðgerðin hefur verið framkvæmd og því hefur fjöldi risa í hring I ekki breyst. (ii) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa eins, þá annaðhvort fjölgar eða fækkar risunum í hring I um tvo og því áfram slétt tala.

Við höfum þá séð að það er alltaf til hringur sem hefur sléttan fjölda af risum og því getur það aldrei gerst að risinn snúi aðeins upp á krónunni í svæði $A$.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 22. Neðra stig 1994-95

Hliðarnar í rétthyrndum þríhyrningi $A B C$ hafa lengdir $6, 8, 10$. Hringur með geisla 1 og miðju í $P$ rúllar innan í $A B C$ þannig að hann snertir alltaf eina hlið þríhyrningsins. Hversu langt hefur punkturinn $P$ farið þegar hringurinn er aftur kominn í upphaflega stöðu?

Lausn

Braut punktsins $P$ er þríhyrningur $A^\circ B^\circ C^\circ$ sem er einslaga $A B C$. Látum $D$ vera fótpunkt þverilsins á $A B$ gegnum $A^\circ$ og látum $E$ vera skurðpunkt línunnar gegnum $A^\circ$ og $D$ við strikið $A C$. Setjum $x=|A D|$ og $y=|A^\circ E|$. Látum $F$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ gegnum $A^\circ$. Athugum að þríhyrningarnir $A D E$ og $A^\circ F E$ eru einslaga $A B C$. Því er $$ \frac{x}{8}=\frac{|A D|}{|A B|}=\frac{|E D|}{|B C|}=\frac {1+y}6 \quad\quad \text{ og } \quad\quad \frac{1}{8}=\frac{|A^\circ F|}{|A B|}=\frac{|A^\circ E|}{|A C|}=\frac{y}{10}, $$ og þar með er $$ x=\frac{8}{6}\left(1+\frac{10}{8} \right)=3. $$ Nú sjáum við að $|A^\circ B^\circ|=8-3-1=4$ og þar með er hlutfallið milli samsvarandi hliða í þríhyrningunum $A^\circ B^\circ C^\circ$ og $A B C$ jafnt $\frac{1}{2}$. Ummál $A^\circ B^\circ C^\circ$ er þá hálft ummál $A B C$ eða $12$.