Byrjum á að athuga að óskyggðu rétthyrndu þríhyrningarnir tveir á myndinni eru eins því þær hliðar sem eru sameiginlegar jafnhliða þríhyrningnum eru jafn langar og þær hliðar sem eru sameiginlegar ferningnum eru jafn langar. Því eru þriðju hliðar þeirra einnig jafn langar og því skyggða svæðið rétthyrndur jafnarma þríhyrningur. Látum $x$ vera lengd skammhliða hans og $y$ vera langhliðina, sem er jafnframt hliðarlengd jafnhliða þríhyrningsins. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á skyggða þríhyrninginn fáum við að $y^2=x^2+x^2=2x^2$. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á rétthyrnda þríhyrninginn sem við fáum þegar við drögum hæðina í jafnhliða þríhyrningnum fáum við að hæðin er jöfn $$\sqrt{y^2-\frac{1}{4}y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}y.$$ Hlutfallið milli flatarmála jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins er þá $$ \frac{\frac{1}{2}y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}y}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{y^2}{x^2}=\sqrt{3}.$$

Þegar fótstiginu er snúið einn hring, þá snýst fremra tannhjólið um $40$ tennur. Aftara tannhjólið snýst þá einnig um $40$ tennur sem eru $\frac{40}{15}=2\frac{10}{15}=2\frac{2}{3}$ hringir. Hjólið fer þá áfram um $\frac{6}{2\frac{2}{3}}=\frac{3\cdot 6}{8}=\frac{9}{4}$ metra þegar aftara tannhjólið snýst einn hring. Þegar skipt hefur verið um tannhjól, þá snýst það fremra 60 tennur þegar fótstiginu er snúið einn hring og því einnig það aftara. En 60 tennur jafngilda $\frac{60}{20}=3$ snúningum og hjólið fer þá áfram um $3\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{4}=6\frac{3}{4}=\text{6,75}$ metra.

Lausn 1: Ef allir keppendur skrá allar sínar skákir, þá skráir hver þeirra $4\cdot 12$ skákir. Alls er þá skráðar $4\cdot12\cdot 13$ skákir á mótinu. En þar sem tveir tefla hverja skák, þá er hver skák skráð tvisvar og fjöldi þeirra því $\frac12\cdot4\cdot 12\cdot 13=312$.

Lausn 2: Röðum keppendunum upp í einfalda röð. Sá fyrsti í röðinni teflir fjórum sinnum við hvern hinna keppendanna svo þar eru $4\cdot 12$ skákir. Þær skákir sem eru enn ótaldar og annar keppandinn í röðinni teflir eru þær sem hann teflir við þá sem eru fyrir aftan hann í röðinni. Þær eru $4\cdot 11$ talsins. Þannig göngum við eftir röðinni, ótaldar skákir sem sá þriðji teflir eru $4\cdot 10$ og svo framvegis. Ótöldu skákirnar sem sá næst síðasti teflir eru þá $4$ og allar skákirnar hafa verið taldar þegar við komum að þeim seinasta. Alls eru þá tefldar $$ 4\cdot (12+11+10+\cdots+1)=4\cdot \frac{(12+1)12}{2}=24\cdot 13=312$$ skákir á mótinu.

Ef við reiknum með $360$ dögum í ári, þá er fjöldi sekúnda í $30$ árum jafn $$ \begin{aligned} 30\cdot 360\cdot 24\cdot 60\cdot 60 &= 3\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 6\cdot 6\cdot 10^6\\ &= 1,08\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &\approx 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &= 8,64\cdot 10^8. \end{aligned} $$

Skekkjan sem við fáum í ofangreindan útreikning með því að gera ráð fyrir að það séu 360 dagar í ári er allavega minni en $$ 30\cdot 6\cdot 24\cdot 60\cdot 60=2\cdot 6^5\cdot 10^3\lt 2\cdot 10^4\cdot 10^3=2\cdot 10^7,$$ því $$6^5=2^5\cdot 3^5=32\cdot 9\cdot 9\cdot 3\lt 32\cdot300\lt 10000,$$ og nálgunin sem við gerðum í útreikningunum er minni en $0,1\cdot 8,64\cdot 10^8\lt 1\cdot 10^8$. Skekkjan er því alls minni en $1,2\cdot 10^8$ og svarið okkar því næst því að vera $1$ milljarður.