Gerum ráð fyrir að $a\gt 0$. Þá er $\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{a}$ jafnt
Fyrir $a\gt 0$ höfum við að $$ \sqrt[6]{a}\cdot\sqrt{3}{a}=a^{\frac{1}{6}}a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}} =a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}.$$
Á myndinni er fjarlægðin $A B$ jöfn $3\sqrt{5}$. Finnið fjarlægðina $AC$. (Allir ferningarnir hafa sömu hliðarlengd.)
Látum $x$ vera hliðarlengd ferninganna. Samkvæmt reglu Pýþagorasar er þá $$ 3\sqrt{5}=|A B|=\sqrt{x^2+(2x)^2}=x\sqrt{5}$$ svo að $x=3$. Regla Pýþagorasar gefur þá að $$ |A C|=\sqrt{x^2+(3x)^2}=x\sqrt{10}=3\sqrt{10}.$$
Ferningi er breytt í rétthyrning með því að auka breidd hans um $20\%$ og minnka hæð hans um $20\%$. Hvað er hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og upphaflega ferningsins?
Látum $x$ tákna hliðarlengd ferningsins. Þá er breidd rétthyrningsins $\text{1,2}x$ og hæð hans $\text{0,8}x$. Flatarmál rétthyrningsins er þá $$ (\text{1,2}x)\cdot (\text{0,8}x)=(1-\text{0,2})(1+\text{0,2})x^2=(1-\text{0,04})x^2=\text{0,96}x^2.$$ Hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og ferningsins er þá $\text{0,96}$.
Ef $x$ er rauntala, þá er ójafnan $1\le |x-2|\le 7$ jafngild
Ef $1\leq |x-2|\leq 7$, þá er $-7\leq x-2\leq -1$ eða $1\leq x-2\leq 7$, það er að segja, $-5\leq x\leq 1$ eða $3\leq x\leq 9$.
Á myndinni er ferhyrningurinn $A B C D$ umritaður um hring. Gefið er að $|A B| = 4$, $|B C| = 5$ og $|C D| = 3$. Hvað er $|D A|$?
Látum $P$, $Q$, $R$ og $S$ vera snertipunkta hringsins við hliðarnar $A B$, $B C$, $C D$ og $D A$. Við notfærum okkur nú þá staðreynd að ef armar horns snerta sama hringinn, þá er lengdin frá toppunkti hornsins að snertipunktunum sú sama. Af þessu leiðir að summa mótlægra hliða í ferhyrningnum $A B C D$ er sú sama, það er $|A B|+|C D|=|B C|+|D A|$. Þar með er $$ |D A|=|A B|+|C D|-|B C|=4+3-5=2.$$
Allar hliðar fimmhyrningsins á myndinni eru jafnlangar. Hver er stærð hornsins $\angle ABC$ í gráðum?
Nú er $BCDE$ ferningur og því strikið $BE$ jafn langt hliðum fimmhyrningsins. Þá er þríhyrningurinn $ABE$ jafnhliða og því $$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$$
Hverja myndanna er unnt að nota til að búa til kassann?
Hvorug myndanna $A$ eða $B$ kemur til greina því rétthyrndu hliðarnar lenda hvor í annarri þegar þær eru brotnar saman. Mynd $C$ kemur ekki til greina þar sem toppurinn passar ekki. Þá er aðeins mynd $D$ eftir og fljótlegt er að sannfæra sig um að hægt er að brjóta hana saman og fá kassann á myndinni.
Ef $3t-1=s-3$, þá er $t-3$ jafnt
Ef $3t-1=s-3$, þá er $t=\frac{1}{3}(s-2)$ og því $$t-3=\frac{s-2}{3}-3=\frac{s-11}{3}.$$
