1992-93 | stæ.is

Dæmi 21. Neðra stig 1992-93

Um náttúrlegu tölurnar $a,b,c,d$ gildir að $a^5 = b^6$, $c^3=d^4$ og $d-a=61$. Finnið $a,b,c$ og $d$.

Lausn

Lausn: Af jöfnunni $a^5=b^6$ leiðir að til er náttúruleg tala $x$ þannig að $a=x^6$ og $b=x^5$. Til að sjá þetta þá frumþáttum við tölurnar $a$ og $b$ $$ a = p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{n}^{k_{n}}, \quad b = q_{1}^{j_{1}} \cdots q_{m}^{j_{m}} $$ þar sem $p_{1} \lt \cdots \lt p_{n}$ og $q_{1} \lt \cdots \lt q_{m}$. Nú er $a^5 = b^6$ og frumþáttunin er ótvíræð svo að $m=n$ og $p_{l}=q_{l}$, $5k_{l}=6j_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Nú hafa $5$ og $6$ engan sameiginlegan þátt og því gengur $5$ upp í $j_{l}$ og $6$ upp í $k_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Setjum $x=p_{1}^{k_{1}/6} \cdots p_{n}^{k_{n}/6}$. Þá er ljóst að $x^6=a$ og $x^5=b$.

Á sama hátt sést að til er náttúrleg tala $y$ þannig að $c=y^4$ og $d=y^3$. Af jöfnunni $d-a=61$ fæst þá að $y^3-x^6=61$. Nú er $$ 61 = y^3-x^6=(y-x^2)(y^2+yx^2+x^4). $$ Þar sem 61 er frumtala og $y^2+yx^2+x^4 \gt 1$ þá er $y-x^2=1$ og $y^2+yx^2+x^4=61$. Af fyrri jöfnunni fæst $y=x^2+1$ og seinni jafnan gefur þá að $$ 0 = (x^2+1)^2 + x^2(x^2+1) + x^4 - 61 = 3(x^2 - 4)(x^2 + 5). $$ Þá er $x^2=4$ og því er $x=2$ og $y=1+x^2=5$.

Við fáum nú að $a=x^6=2^6=64$, $b=x^5=2^5=32$, $c=y^4=5^4=625$ og $d=y^3=5^3=125$.

Dæmi 11. Neðra stig 1992-93

Gefinn er þríhyrningur $A B C$ og punktur $D$ á hliðinni $AB$ þannig að $|A D|=|C D|=|B C|$ og $\angle B A C= 40^\circ$. Hvað er hornið $\angle D C B$ stórt?

Lausn

Þríhyrningurinn $A D C$ er jafnarma, svo að hornin $\angle D C A$ og $\angle D A C$ eru jafn stór. þá er \[ \angle B D C = \angle D A C + \angle D C A = 2 \angle D A C = 80^\circ \] Þríhyrningurinn $B C D$ er einnig jafnarma svo $\angle D B C = \angle B D C$ og þá \[ \angle B C D = 180^\circ - 2 \angle B D C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \]

Dæmi 12. Neðra stig 1992-93

$OPQ$ er fjórðungur úr hring. Dregnir eru hálfhringir með miðstrengi $OP$ og $OQ$. Skyggðu svæðin hafa flatarmál $a$ og $b$ eins og merkt er á myndinni. Hvert er hlutfallið $\frac{a}{b}$?

Lausn

Flatarmál $b$ er jafnt flatarmáli hringfjórðungsins að frádregnu flatarmáli hálfhringanna tveggja og að viðbættu flatarmáli $a$ (því að flatarmál $a$ er reiknað með í báðum hálfhringunum). Þá fæst $$b=\frac{1}{4}\cdot \pi\cdot r^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^2+a=a,$$ þar sem $r=|OP|$, svo að $\frac{a}{b}=1$.

Dæmi 13. Neðra stig 1992-93

Á þokudegi á hafi er skyggni $5$ mílur. Tvö skip $A$ og $B$ eru á siglingu í gagnstæðar áttir eftir samsíða línum sem eru $3$ mílur hvor frá annarri. Hraði skips $A$ er $8$ mílur á klukkustund. Skipin sjást hvort frá öðru í samfleytt $24$ mínútur. Hversu hratt siglir skip $B$ í mílum á klukkustund?

Lausn

Við getum einfaldað dæmið töluvert með því að velja okkur skynsamlegt viðmiðunarkerfi. Hugsum okkur að annað skipið sé kyrrt en hitt sigli með hraðanum $v+8$ mílur á klukkustund, þar sem $v$ táknar hraða skips $B$, það er, við hugsum okkur að við séum um borð í öðru skipinu, segjum skipi $A$. Regla Pýþagorasar gefur okkur þá að vegalengdin sem skip $B$ siglir meðan við sjáum í það er 8 mílur. Þar sem skipin sjást í 24 mínútur siglir skip $B$ framhjá okkur með hraða $8/(\frac{24}{60})=20$ mílur á klukkustund svo $v+8=20$ og þá $v=12$. Skip $B$ siglir því 12 mílur á klukkustund.

Dæmi 14. Neðra stig 1992-93

$ABCD$ er ferningur með hliðarlengd 12. Valdir eru punktar $E$, $F$ og $G$ á hliðunum $BC$, $CD$ og $DA$ (í þessari röð) þannig að $|BE|:|BC|=1:4$, $|DF|:|DC|=1:3$ og $|AG|:|AD|=1:2$. Hvert er flatarmál þríhyrningsins $GEF$?

Lausn

Nú er $|BE|=3$, $|EC|=9$, $|CF|=8$, $|FD|=4$, $|DG|=6$ og $|AG|=6$. Flatarmál þríhyrningsins $EFG$ er jafnt flatarmáli ferningsins $ABCD$ að frádregnum flatarmálum ferhyrningsins $BEGA$ og þríhyrninganna $ECF$ og $FDG$. En flatarmál $ABCD$ er $12^2=144$, flatarmál $BEGA$ er summa flatarmáls rétthyrnings með hliðarlengdir 3 og 12 og þríhyrnings með hæð 12 á grunnlínu af lengd 3 svo flatarmál $BEGA$ er $3\cdot 12+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 12=36+18=54$. Flatarmál $ECF$ er $\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 8=36$ og flatarmál $FDG$ er $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$. Flatarmál þríhyrningsin $EFG$ er því $144-54-36-12=42$.

Dæmi 15. Neðra stig 1992-93

Lausnir jöfnunnar $x^2+p x+q=0$ eru þriðju veldin af lausnum jöfnunnar $x^2+m x+n=0$. Þá gildir

Lausn

Látum $a$ og $b$ vera lausnir jöfnunnar $x^2+mx+n=0$. Þá eru $a^3$ og $b^3$ lausnir jöfnunnar $x^2+px+q=0$. Nú vitum við að $$ \begin{aligned} x^2+mx+n =(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab,\\ x^2+px+q =(x-a^3)(x-b^3)=x^2-(a^3+b^3)+a^3b^3 \end{aligned} $$ svo að $a+b=-m, ab=n, a^3+b^3=-p$ og $a^3b^3=q$. Við notum þessar jöfnur og fáum að $$ \begin{aligned} p&=-a^3-b^3=3a^2b+3ab^2-(a+b)^3=3ab(a+b)-(a+b)^3\\ &=3n(-m)-(-m)^3=m^3-3mn. \end{aligned} $$

Dæmi 16. Neðra stig 1992-93

Fimmtíu sléttar tölur í röð eru lagðar saman. Út kemur $3250$. Hver var stærsta talan?

Lausn

Ritum tölurnar sem $2k, 2(k+1),\ldots, 2(k+49)$. Þá er $$ \begin{aligned} 3250&=2k+2(k+1)+\cdots+2(k+49)\\ &=\frac{1}{2}\cdot 50(2k+2(k+49))=50(2k+49) \end{aligned} $$ og því er $2k+49=3250/50=65$. Þá er síðasta talan $$2(k+49)=(2k+49)+49=65+49=114.$$

Dæmi 17. Neðra stig 1992-93

Búin eru til brot $\frac{a}{b}$ þar sem $a$ og $b$ eru heilar tölur stærri en $0$ og summa $a$ og $b$ er $333$. Hversu mörg þessara brota eru fullstytt og jafnframt minni en $1$?

Lausn

Það að $a+b=333$ segir okkur að við erum að reyna að telja fullstytt brot á forminu $\frac{a}{333-a}$ þar sem $333-a\gt a$. Seinna skilyrðið hér að ofan segir okkur að $1\leq a\leq 166$. Slíkt brot er fullstytt ef engin frumtala $p$ gengur bæði upp í $a$ og $333-a$. Ef talan $p$ gengur bæði upp í $a$ og $333-a$, þá verður $p$ að ganga upp í $333$. Frumþáttum nú töluna 333 og fáum $333=3^2\cdot 37$. Þau gildi sem eru ekki leyfileg fyrir $a$ eru þær náttúrlegar tölur á bilinu frá 1 upp í 166 sem eru þannig að $3$ eða $37$ ganga upp í þær. Við drögum því fjölda óleyfilegra talna frá fjölda mögulegra gilda á $a$ og fáum að svarið er $$166-\left(\left[\tfrac{166}{3}\right]+\left[\tfrac{166}{37}\right]- \left[\tfrac{166}{111}\right]\right)=166-(55+4-1)=108.$$ Athugið að liðurinn $\left[\frac{166}{111}\right]$ verður að vera með til að leiðrétta vegna þeirra talna sem bæði $3$ og $37$ ganga upp í.

Dæmi 18. Neðra stig 1992-93

Tölustafirnir $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ og $6$ eru allir notaðir til að mynda sex stafa tölu $ a b c d e f$ þannig að þriggja stafa talan $a b c$ er deilanleg með $4$, $ b c d $ deilanleg með $5$, $c d e$ deilanleg með $3$ og $d e f$ deilanleg með $11$. Hver er talan $a b c d e f$?

Lausn

Svar: $324561$

Þar sem talan er sex stafa og tölustafirnir eru allir notaðir, þá er hver notaðar nákvæmlega einu sinni. Nú gengur $5$ upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Því er $d = 5$. Við gerum okkur töflu yfir allar þriggja stafa tölur sem byrja á $5$ og $11$ ganga upp í.

$k$	46	47	48	49	50	51	52	53	54
$11 k$	506	517	528	539	550	561	572	583	594

Einungis $561$ kemur til greina sem talan $d e f$ því allar hinar innihalda einhvern af tölustöfunum $7$,$8$,$9$ eða $0$. Þá er $e=6$ og $f =1$. Þar sem $4$ ganga upp í $a b c$ er $c$ sér í lagi slétt tala og því annaðhvort $2$ eða $4$. En $3$ ganga ekki upp í $256=3\cdot 85+1$ svo $c=4$. Þá er $a=3$ og$b=2$ eða þá $a=2$ og $b = 3$. En seinna tilfellið gengur ekki því $4$ er ekki þáttur í $2 3 4 = 4\cdot 58+2$. Höfum því að $a b c d e f$ er talan $324561$.

Lausn 2: Ljóst er að $d=5$ því $5$ gengur upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Nú er vel þekkt að $11$ gengur upp í $d e f$ þá og því aðeins að $11$ gangi upp í $d-e+f = 5-(e-f)$. Þá er nauðsynlega $e-f = 5$ svo að $e = 6$ og $f = 1$. Einnig er vel þekkt að $3$ gengur upp í $c d e$ þá og því aðeins að $3$ gangi upp í $c+d+e = c+5+6 = c+11$. Þá er nauðsynlega $c = 4$ því við höfum þegar notað tölustafinn $1$. Þá er $a b c = 234$ eða $a b c = 324$. En $4$ gengur ekki upp í $234=4\cdot 58+2$ svo að $a=3$ og $b=2$. Höfum þá að talan er $324561$.

Dæmi 19. Neðra stig 1992-93

Í þríhyrningnum $ABC$ á myndinni eru $AE$ og $BD$ miðlínur, $F$ er skurðpunktur þeirra, $\angle BAC=\angle AFB = 90^\circ$ og lengd $AB$ er 12. Hver er lengd $BC$?

Lausn

Svar: $12\sqrt{3}$

Við sýnum tvær lausnir. Í þeirri fyrri notum við hreina rúmfræði en í þeirri seinni innleiðum við hnitakerfi.

Lausn 1: Þar sem hornið $\angle CAB$ er rétt, þá er $E$ miðja umritaðs hrings þríhyrningsins $CAB$. Þá er $|AE|=|BE|$. Setjum $|DF|=x$ og $|EF|=y$. Þá er $|AF|=2y$ og $|BF|=2x$ því miðstrik í þríhyrningi skipta hvert öðru í hlutföllunum $1:2$. Einnig er $|BE|=|AE|=3y$ og þar sem þríhyrningurinn $BEF$ er rétthyrndur gefur regla Pýþagorasar að $9y^2=y^2+4x^2$, það er $x^2=2y^2$. En þríhyrningurinn $ABF$ er einnig rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $12^2=4x^2+4y^2$ svo $x^2+y^2=36$. Þá er $y^2=36-x^2=36-2y^2$ svo $y^2=12$ og því $y=2\sqrt{3}$. Þá er $|BC|=6y=12\sqrt{3}$.

Lausn 2: Látum punktinn $A$ fá hnit $(0,0)$, látum línuna $AB$ liggja á $y$-ásnum þannig að $B$ fái hnitin $(0,12)$. Þá liggur $AC$ á $x$-ásnum og $C$ hefur hnitin $(2 a,0)$ þar sem $a$ er rauntala og við getum gert ráð fyrir að $a\lt 0$ með því að spegla myndinni hugsanlega um $y$-ásinn. Nú er $D$ miðpunktur $AC$ og hefur því hnitin $(a,0)$ og eins hefur $E$ hnitin $(a,6)$. Hallatala línunnar $AE$ er þá $\frac{6}{a}$ og hallatala línunnar $BD$ er $-\frac{12}{a}$. Þar sem línurnar eru hornréttar, þá er margfeldi hallatalnanna jafnt $-1$ svo $$\frac{6}{a}\cdot\left(-\frac{12}{a}\right) = -1$$ og því er $a^2=72$. Þá hefur hliðin $AC$ lengd $2\sqrt{72}$, svo að $$ |BC|=\sqrt{|AC|^2+|AB|^2}=\sqrt{144+288}=\sqrt{3\cdot144}=12\sqrt{3}. $$