Nú er $(1-|x|)(1+x)\gt 0$ þá og því aðeins að annaðhvort sé $1-|x|\gt 0$ og $1+x\gt 0$ eða þá $1-|x|\lt 0$ og $1+x\lt 0$. Í fyrra tilfellinu er $|x|\lt 1$ og $x\gt -1$ svo $-1\lt x\lt 1$. Í seinna tilfellinu er $|x|\gt 1$ og $x\lt -1$ svo $x\lt -1$. Höfum því að $(1-|x|)(1+x)\gt 0$ þá og því aðeins að $x\lt 1$ og $x\neq -1$.

Ræturnar eru óþjálar í meðferð svo fyrsta verkefnið er að losna við þær. Byrjum með $$ \begin{align} \sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x, \quad (1) \end{align} $$ hefjum upp í annað veldi báðum megin við jafnaðarmerkið og fáum $$ \begin{align} a-\sqrt{a+x}=x^2. \quad (2) \end{align} $$ Snyrtum til, $$ \begin{align} \sqrt{a+x}=a-x^2, \quad (3) \end{align} $$ hefjum aftur upp í annað veldi og fáum $$ \begin{align} a+x=x^4-2ax^2+a^2. \quad (4) \end{align} $$ Við höfum nú fengið eftirfarandi jöfnu $$ \begin{align} x^4-2ax^2-x+a^2-a=0. \quad (5) \end{align} $$ Þegar við hefjum svona upp í annað veldi báðum megin við jafnaðarmerki þá verðum við að gæta sérstakrar varúðar því upplýsingar um formerki týnast, til dæmis er engin leið að sjá af jöfnu $(2)$ að $x\geq 0$ sem er þó augljóst af jöfnu $(1)$. Þegar við förum yfir reikningana sjáum við að $x$ verður ekki einungis að vera lausn á $(5)$ heldur verður einnig að gilda að $x\geq 0$ og að $a\geq x^2$ (sbr. jöfnu $(3)$). Nú koma tvær leiðir til greina.

(a) Hugsum um $(5)$ sem annars stigs jöfnu í $a$, $$a^2-(2x^2+1)a+x^4-x=0.$$ Leysum þessa jöfnu og fáum tvær lausnir $$ a=\frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x^2+1)^2-4(x^4-x)}}{2} = \frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x+1)^2}}{2}. $$ Einföldum og fáum þá annars vegar $$a=x^2-x,$$ og hinsvegar $$a=x^2+x+1.$$ Tilfellið $a=x^2-x$ kemur ekki til greina, því ef við stingum inn fyrir $a$ í jöfnu $(3)$ fæst $|x|=-x$ svo $x\lt 0$ í mótsögn við að $x\geq 0$. Við leysum fyrir $x$ í $a=x^2+x+1$ og fáum $$ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4(1-a)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2} $$ Lausnin $x=-(1+\sqrt{4a-3})/2$ kemur hinsvegar ekki til greina þar sem hún er neikvæð. Við athugum nú hvort $x=(-1+\sqrt{4a-3})/2$ sé lausn $(1)$. Til þess þurfum við að ganga úr skugga um að $x\gt 0$ og að $x^2\leq a$. Þar sem $a\geq 1$, þá er $4a-3\geq 1$ svo $x\geq 0$. Einnig er $$a-x^2=a-\frac{4a-2-2\sqrt{4a-3}}{4}=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}\gt 0.$$ Höfum því að $x=(-1+\sqrt{4a-3})/2$ er eina lausn $(1)$.

(b) Þáttum margliðuna á vinstri hlið $(5)$ í tvær annars stigs margliður. Eftir svolitla umhugsun gætum við búist við að fyrsti liður í þeim báðum verði $x^2$, miðliður $x$ með mismunandi formerkjum og síðasti liður í annarri $a$ og í hinni $a-1$. Með þessa vitneskju í farteskinu getum við sett upp tvo sviga og svo reynt að stilla af formerkin þannig að rétt útkoma fáist. Fáum að $$ (x^2-x-a)(x^2+x-(a-1))=x^4-2ax^2-x+a^2-a. $$ Við getum svo haldið áfram eins og í lið (a).

Höfum að $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\cdot b+b^2)=(a-b)((a-b)^2+3 a b). $$ Setjum $a=\sqrt[3]{x+9}$ og $b=\sqrt[3]{x-9}$ og fáum $18 = 3\cdot(3^2+3a b)$ eða $a b=-1$. Þá er $$\sqrt[3]{x^2-81}=\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=a b=-1$$ og þar með eru tvær lausnir, $x=\sqrt{80}$ og $x=-\sqrt{80}$.

Lausn:

• Gutti byrjar á að setja 0 í reitinn fyrir framan $x$-ið. Jörmunrekur setur þá tölu í annan hinna reitanna, og Gutti setur svo tölu í hinn reitinn, en passar bara að velja ekki sömu tölu og Jörmunrekur. Þá er komin jafna $0\cdot x+a=b$, þar sem $a\neq b$. Það er sama hvaða tölu við setjum í staðinn fyrir $x$-ið, aldrei fæst að vinstri hliðin verði jöfn þeirri hægri. Því hefur þessi jafna enga lausn.
• Nú byrjar Gutti á að setja tölu í reitinn fyrir framan $x$-ið, það eina sem hann má ekki gera er að setja $0$. Segjum að Gutti byrji á að setja 1 í reitinn fyrir framan $x$-ið. Jörmunrekur setur svo einhverja tölu í annan hinna reitanna, og að endingu setur Gutti aftur bara einhverja tölu í reitinn sem er eftir, segjum bara að hann velji sömu tölu og Jörmunrekur notaði. Þá höfum við fengið jöfnu $1\cdot x+a=a$. Þessi jafna hefur lausnina $x=0$, og það er engin önnur lausn til. Reyndar sjáum við að Gutti getur valið sína tölu þannig að jafnan hafi bara eina lausn og það sé einhver fyrirfram ákveðin tala.
• Nú verður Gutti að byrja á því að setja $0$ í reitinn fyrir framan $x$-ið. Jörmunrekur setur svo einhverja tölu í annan hinna reitanna, og Gutti lýkur leiknum með að setja sömu tölu í síðasta reitinn. Útkoman er þá jafna á forminu $0\cdot x+a=a$. Nú er sama hvaða tala er sett í staðinn fyrir $x$, jafnan verður alltaf sönn. Því hefur þessi jafna óendanlega margar lausnir.