Fjölval | stæ.is

Dæmi 15. Neðra stig 1996-97

Á myndinni hér fyrir neðan má sjá ellefu ferningslaga spjöld sem hafa verið lögð á borð. Í hvaða röð voru fyrstu sjö spjöldin lögð á borðið?

Lausn

Lítum á spjald $F$. Undir því liggur spjald $E$, sem aftur liggur ofan á spjaldi $D$. Spjöld $C$ og $G$ liggja bæði undir $D$. Ef spjald $G$ lægi ofaná spjaldi $C$, þá myndi sjást í spjald $G$ milli spjalda $B$ og $D$. Svo er hinsvegar ekki og því liggur spjald $C$ ofan á spjaldi $G$. Þau spjöld sem við höfum þegar nefnt voru því lögð niður í röðinni $G$, $C$, $D$, $E$, $F$. Nú er spjald $A$ undir spjaldi $B$, spjald $I$ undir spjaldi $A$ og spjald $J$ undir spjaldi $I$. Spjöldin $H$, $K$ og $F$ eru öll undir spjaldi $J$. Nú sést í hornið á spjaldi $H$ milli spjalda $J$ og $B$ ofan á spjaldi $F$ og því liggur spjald $H$ ofan á spjaldi $F$ og ljóst er að spjald $K$ liggur ofan á spjaldi $H$. Sjáum þá að síðustu $7$ spjöldin voru lögð á borðið í röðinni $F$, $H$, $K$, $J$, $I$, $A$, $B$.

Dæmi 4. Neðra stig 1996-97

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$, þá er $b$ jafnt

Lausn

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$, þá er $(a-b)m=a b c$ svo að $m a=m b+a b c=b(m+a c)$ og því er $b=\frac{m a}{m+a c}$.

Dæmi 1. Neðra stig 1996-97

Út úr búð kostar Töfrabumbustrekkjarinn $9.995$ kr. Í Sjónvarpssjoppunni er hægt að kaupa þetta undratæki með þremur afborgunum, hverri að upphæð $2.995$ kr., en jafnframt þarf að greiða $995$ kr. í sendingarkostnað. Hve mikið sparast með því að kaupa tækið hjá Sjónvarpssjoppunni frekar en út úr búð?

Lausn

Töfrabumbustrekkjarinn kostar $3\cdot 2.995+995=8.985+995=9.980$ krónur í sjónvarpssjoppunni. Hann er því $9.995-9.980=15$ krónum ódýrari þar.

Dæmi 2. Neðra stig 1996-97

Hverja eftirfarandi mynda má brjóta þannig saman að út fáist píramíti með ferningslaga grunnflöt?

Lausn

Þrír þríhyrningar í röð eins og á myndum $A$, $B$ og $C$ gefa okkur þrjár hliðar píramítans. Þá vantar norðurhliðina svo það er mynd $C$ sem gefur okkur píramítann.

Dæmi 3. Neðra stig 1996-97

Stærðin $$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}$$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}= 1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{5}{21}}} =1+\frac{1}{2+\frac{21}{68}} =1+\frac{68}{157}=\frac{225}{157}. $$

Dæmi 5. Efra stig 1995-96

Jörmunrekur og Gutti eru í leik þannig að fyrir framan þá er hrúga með $40$ eldspýtum, og fer leikurinn þannig fram að þeir skiptast á að taka eldspýtur úr hrúgunni. Í hvert skipti má taka $1$, $2$, $3$ eða $4$ eldspýtur. Sá tapar sem tekur síðustu eldspýtuna. Gutti hóf leikinn og tryggði sér strax sigur. Hvað tók Gutti margar eldspýtur í fyrsta sinn?

Lausn

Eftir að Gutti gerir í fyrsta skipti, þá getur hann alltaf hagað því þannig að 5 eldspýtur fari í hverri umferð eftir það. Ef Jörmunrekur tekur $x$ eldspýtur, þar sem $x$ er ein talnanna $1$, $2$, $3$ eða $4$, þá tekur Gutti $5-x$ eldspýtur. Nú er $40=7\cdot 5+5$ svo þegar Jörmunrekur hefur gert $7$ sinnum og Gutti $8$ sinnum, þá eru eftir $5$ eldspýtur að frádregnum þeim eldspýtum sem Gutti tók í fyrsta leik. Ef hann hefur tekið $4$ eldspýtur í byrjun, þá er aðeins ein eldspýta eftir þegar hér er komið sögu og þá tapar Jörmunrekur.

Dæmi 6. Efra stig 1995-96

Hver eftirtalinna margliða gengur upp í $x^{17}-4x^{15}-x^3+4$?

Lausn

Það er vel þekkt að $x-a$ þáttur í margliðu $p$ þá og því aðeins að $p(a)=0$. Nú er $1^{17}-4\cdot 1^{15}-1^3+4=0$ svo $x-1$ er þáttur í margliðunni $x^{17}-4x^{15}-x^3+4$.

Dæmi 11. Neðra stig 1995-96

Jörmunrekur og Gutti eru í leik þannig að fyrir framan þá er hrúga með $41$ eldspýtu, og fer leikurinn þannig fram að þeir skiptast á að taka eldspýtur úr hrúgunni. Í hvert skipti má taka $1$, $2$, $3$, $4$ eða $5$ eldspýtur. Sá tapar sem tekur síðustu eldspýtuna. Gutti hóf leikinn og tryggði sér strax sigur. Hvað tók Gutti margar eldspýtur í fyrsta sinn?

Lausn

Eftir að Gutti gerir í fyrsta skipti, þá getur hann alltaf hagað því þannig að $6$ eldspýtur fari í hverri umferð eftir það. Ef Jörmunrekur tekur $x$ eldspýtur, þar sem $x$ er ein talnanna $1$, $2$, $3$, $4$ eða $5$, þá tekur Gutti $6-x$ eldspýtur. Nú er $41=6\cdot 6+5$ svo þegar Jörmunrekur hefur gert $6$ sinnum og Gutti $7$ sinnum, þá eru eftir $5$ eldspýtur að frádregnum þeim eldspýtum sem Gutti tók í fyrsta leik. Ef hann hefur tekið $4$ eldspýtur í byrjun, þá er aðeins ein eldspýta eftir þegar hér er komið sögu og þá tapar Jörmunrekur.

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Faraóinn Jörmunrekur II var búinn að láta höggva $1000$ teningslaga steinblokkir, allar jafnstórar. Úr þessum blokkum átti að reisa píramíta með ferningslaga grunni. Fyrsti píramítinn sem var reistur var tveggja hæða, svo var reistur þriggja hæða og svo koll af kolli (sjá mynd). Þegar framkvæmdir höfðu staðið yfir um skeið uppgötvaði Jörmunrekur að hann ætti ekki eftir nógu margar blokkir til að klára næsta píramíta.

Lausn

Það þarf $1+2^2=5$ blokkir í fyrsta píramítann, $1+2^2+3^2=5+9=14$ blokkir í þann næsta, $1+2^2+3^2+4^2=14+16=30$ í þann þriðja og svo framvegis. Ef $a_n$ táknar fjölda blokka sem þarf í $n$—hæða píramíta, þá sjáum við að $a_n=a_{n-1}+n^2$ því við getum alltaf fengið hvern píramíta með því að skella $n^2$ blokkum undir þann næsta á undan. Reiknum nú nokkur fyrstu gildin á $a_n$. Höfum þegar séð að $a_2=5$, $a_3=14$ og $a_4=30$. Ef við höldum áfram fáum við $a_5=30+25=55$, $a_6=55+36=91$, $a_7=91+49=140$, $a_8=140+8^2=204$, $a_9=204+81=285$, $a_{10}=285+10^2=385$. Nú er $a_2+a_3+\cdot+a_9=824$ og $a_{10}=385\gt 176=1000-824$ svo Jörmunrekur á $176$ blokkir eftir þegar hann hefur lokið við 9 hæða píramítann en þarf $385$ til að klára þann $10$ hæða.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Í þríhyrningnum $A B C$ liggur punkturinn $D$ á hliðinni $c$, þannig að $\angle B C D=\angle A$. Gefið er $a=5$ og $|B D|=3$. Þá er lengd $c$ jöfn

Lausn

Nú er $\angle C D B=\angle C A B+\angle A C D=\angle B C D+\angle A C D=\angle ACB$ og augljóslega er $\angle CBD=\angle ABC$ svo þríhyrningarnir $A C B$ og $CDB$ eru einslaga. Þá er $$\frac{3}{5}=\frac{|B D|}{|B C|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{5}{|A B|}$$ svo að $|A B|=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 15. Neðra stig 1996-97

Dæmi 4. Neðra stig 1996-97

Dæmi 1. Neðra stig 1996-97

Dæmi 2. Neðra stig 1996-97

Dæmi 3. Neðra stig 1996-97

Dæmi 5. Efra stig 1995-96

Dæmi 6. Efra stig 1995-96

Dæmi 11. Neðra stig 1995-96

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK