Fjölval | stæ.is

Dæmi 10. Neðra stig 1995-96

Tveir hornréttir miðstrengir eru dregnir í hring með geislann $2$ og síðan allir mögulegir strengir samsíða þeim í fjarlægðinni $1$, eins og sýnt er á myndinni. Samlögð lengd þessara sex strengja er

Lausn

Látum $x$ tákna hálfa lengd þeirra strengja sem liggja ekki í gegnum miðpunkt hringsins. Þríhyrningurinn á myndinni er rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $1^2+x^2=2^2$ svo að $x=\sqrt{3}$. Þá er lengd hvers af strengjunum sem eru ekki miðstrengir $2\sqrt{3}$ og lengd þeirra samtals $4\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$. Lengd miðstrengjanna er $2\cdot 4=8$ og því heildarlengd strengjanna sex $8+8\sqrt{3}=8(1+\sqrt{3})$.

Dæmi 1. Neðra stig 1995-96

Tvær ólíkar tölur eru valdar úr $-9$, $-7$, $-5$, $2$, $4$ og $6$. Ef þær eru margfaldaðar saman, þá er lægsta mögulega gildið á útkomunni

Lausn

Sumar talnanna eru neikvæðar og sumar jákvæðar. Nú fáum við minnstu töluna þegar við margföldum saman stærstu jákvæðu töluna og minnstu neikvæðu töluna. Lægsta mögulega útkoman er því $-9\cdot 6=-54$.

Dæmi 10. Efra stig 1994-95

Á þremur skerjum sitja $15$ svartbakar og $14$ hettumávar. Á hverju skeri eru að minnsta kosti $4$ svartbakar og $2$ hettumávar. Einnig eru annað hvort fleiri svartbakar en hettumávar á hverju skeri, eða þá að svartbakarnir og hettumávarnir eru jafn margir. Hver er mesti mögulegi fjöldi fugla á skeri?

Lausn

Röðum fulgunum á skerin. Fyrst setjum við $4$ svartbaka og $2$ hettumáva á hvert sker. Þá eru eftir $15-3\cdot 4=3$ svartbakar og $14-3\cdot 2=8$ hettumávar. Sjáum þá að það geta í hæsta lagi verið $7$ svartbakar á sama skeri og þar sem hettumávarnir eru í hæsta lagi jafn margir svartbökunum þá geta í hæsta lagi verið 14 fuglar á sama skeri. Við sýnum að það er hægt að koma $14$ fuglum á sama skerið.

Setjum nú alla svartbakana sem eftir eru á fyrsta skerið. Við getum sett $5$ hettumáva í viðbót á það sker þannig að þar séu hettumávarnir jafn margir svartbökunum, alls $14$ fuglar. Þá eru eftir $3$ hettumávar og við getum sett tvo þeirra á annað skerið þannig að þar séu $4$ svartbakar og $4$ hettumávar og einn á þriðja og síðasta skerið þannig að þar séu $4$ svartbakar og $3$ hettumávar.

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Margfeldið $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{199^2}\right)\left(1-\frac{1}{200^2}\right)$$ er jafnt og

Lausn

Athugum að $$1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$$ Því er margfeldið jafnt margfeldinu $$ \begin{aligned} &\frac{2-1}{2}\cdot\frac{2+1}{2}\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{3+1}{3}\cdots\frac{199-1}{199}\cdot\frac{199+1}{199}\cdot \frac{200-1}{200}\cdot \frac{200+1}{200}\\ =\;& \frac12\cdot\frac32\cdot\frac23\cdot\frac43\cdots\frac{198}{199}\cdot\frac{200}{199}\cdot\frac{199}{200}\cdot\frac{201}{200} =\frac{1}{2}\cdot \frac{201}{200}=\frac{201}{400}.\end{aligned} $$

Dæmi 5. Neðra stig 1994-95

Látum $y\gt 0$ og $x=-y$. Hver eftirfarandi fullyrðinga er röng?

Lausn

Fullyrðingin $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$ segir að $x=y$ sem getur ekki verið því $x=-y$ og $y\gt 0$ svo önnur talnanna $x$ eða $y$ er jákvæð en hin neikvæð.

Dæmi 6. Neðra stig 1994-95

Talan sem þarf að leggja við $\frac{1}{b+2}$ til að fá $\frac{1}{b}$ er

Lausn

Látum $x$ tákna töluna sem þarf að leggja við $\frac{1}{b+2}$ til að fá $\frac{1}{b}$. Þá er $x+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{b}$ svo að $$ x=\frac{1}{b}-\frac{1}{b+2}=\frac{(b+2)-b}{b(b+2)}=\frac{2}{b(b+2)}.$$

Dæmi 7. Neðra stig 1994-95

Flatarmál skyggða svæðisins á myndinni er

Lausn

Ef við klippum ferning með hliðarlengdir $16$ eftir hornalínunum, þá fáum við óskyggðu þríhyrningana fjóra á myndinni. Flatarmál óskyggða svæðisins er þá $16^2$ svo að flatarmál skyggða svæðisins er $$20^2-16^2=(20-16)(20+16)=4\cdot 36=120+24=144.$$

Dæmi 8. Neðra stig 1994-95

Skurðgrafa er einn klukkutíma að grafa holu sem er $3$ metrar að lengd, $3$ metrar að breidd og $3$ metrar að dýpt. Hve lengi eru tvær samskonar gröfur sem vinna á sama hraða að grafa holu sem er $6$ metra löng, $6$ metra breið og $6$ metrar djúp?

Lausn

Ein skurðgrafa grefur $3^3$ rúmmetra á klukkustund svo að tvær skurðgröfur grafa $2\cdot 3^3$ rúmmetra á klukkustund. Tíminn sem það tekur tvær skurðgröfur að grafa $6^3$ rúmmetra er því $$ \frac{6^3}{2\cdot 3^3}=\frac{2^3\cdot 3^3}{2\cdot 3^3}=2^2=4$$ klukkustundir.

Dæmi 9. Neðra stig 1994-95

Jörmunrekur hefur keyrt $80.000$ km án þess að kaupa ný dekk. Hve marga kílómetra hefur hvert dekkjanna fimm verið notað ef varadekkið hefur verið notað til jafns við hin dekkin?

Lausn

Ef öll fimm dekkin hafa verið notuð jafn mikið, þá hefur hvert þeirra verið varadekk fimmta hlutann af heildar vegalengdinni eða $80.000/5=16.000$ km. Hvert þeirra hefur þá verið undir bílnum $80.000-16.000=64.000$ km.

Dæmi 10. Neðra stig 1994-95

Hornin $\angle A B C$ og $\angle B C D$ eru bæði $90^\circ$. Lengd striksins $d$, sem er hornrétt á $B C$, er

Lausn

Látum $P$ vera skurðpunkt strikanna $A C$, $B D$ og látum $Q$ vera fótpunkt lóðlínunnar á $B C$ í gegnum $P$. Þá er $d=|P Q|$. Setjum $x=|B Q|$. Nú eru þríhyrningarnir $B P Q$ og $B D C$ einslaga því hornin $\angle P B Q$ og $\angle D B C$ eru jafn stór og hornin $\angle P Q B$ og $\angle D C B$ eru bæði rétt. Því er $\frac{d}{x}=\frac{20}{10}=2$. Eins eru þríhyrningarnir $C P Q$ og $C A B$ einslaga svo að $\frac{d}{10-x}=\frac{30}{10}=3$. Þá er $d=30-3x=30-\frac{3}{2}d$ svo að $d=\frac{2}{5}\cdot 30=12$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 10. Neðra stig 1995-96

Dæmi 1. Neðra stig 1995-96

Dæmi 10. Efra stig 1994-95

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Dæmi 5. Neðra stig 1994-95

Dæmi 6. Neðra stig 1994-95

Dæmi 7. Neðra stig 1994-95

Dæmi 8. Neðra stig 1994-95

Dæmi 9. Neðra stig 1994-95

Dæmi 10. Neðra stig 1994-95

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK