Fjölval | stæ.is

Dæmi 6. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er fjarlægðin $A B$ jöfn $3\sqrt{5}$. Finnið fjarlægðina $AC$. (Allir ferningarnir hafa sömu hliðarlengd.)

Lausn

Látum $x$ vera hliðarlengd ferninganna. Samkvæmt reglu Pýþagorasar er þá $$ 3\sqrt{5}=|A B|=\sqrt{x^2+(2x)^2}=x\sqrt{5}$$ svo að $x=3$. Regla Pýþagorasar gefur þá að $$ |A C|=\sqrt{x^2+(3x)^2}=x\sqrt{10}=3\sqrt{10}.$$

Dæmi 7. Neðra stig 1993-94

Ferningi er breytt í rétthyrning með því að auka breidd hans um $20\%$ og minnka hæð hans um $20\%$. Hvað er hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og upphaflega ferningsins?

Lausn

Látum $x$ tákna hliðarlengd ferningsins. Þá er breidd rétthyrningsins $\text{1,2}x$ og hæð hans $\text{0,8}x$. Flatarmál rétthyrningsins er þá $$ (\text{1,2}x)\cdot (\text{0,8}x)=(1-\text{0,2})(1+\text{0,2})x^2=(1-\text{0,04})x^2=\text{0,96}x^2.$$ Hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og ferningsins er þá $\text{0,96}$.

Dæmi 8. Neðra stig 1993-94

Ef $x$ er rauntala, þá er ójafnan $1\le |x-2|\le 7$ jafngild

Lausn

Ef $1\leq |x-2|\leq 7$, þá er $-7\leq x-2\leq -1$ eða $1\leq x-2\leq 7$, það er að segja, $-5\leq x\leq 1$ eða $3\leq x\leq 9$.

Dæmi 9. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er ferhyrningurinn $A B C D$ umritaður um hring. Gefið er að $|A B| = 4$, $|B C| = 5$ og $|C D| = 3$. Hvað er $|D A|$?

Lausn

Látum $P$, $Q$, $R$ og $S$ vera snertipunkta hringsins við hliðarnar $A B$, $B C$, $C D$ og $D A$. Við notfærum okkur nú þá staðreynd að ef armar horns snerta sama hringinn, þá er lengdin frá toppunkti hornsins að snertipunktunum sú sama. Af þessu leiðir að summa mótlægra hliða í ferhyrningnum $A B C D$ er sú sama, það er $|A B|+|C D|=|B C|+|D A|$. Þar með er $$ |D A|=|A B|+|C D|-|B C|=4+3-5=2.$$

Dæmi 2. Neðra stig 1993-94

Allar hliðar fimmhyrningsins á myndinni eru jafnlangar. Hver er stærð hornsins $\angle ABC$ í gráðum?

Lausn

Nú er $BCDE$ ferningur og því strikið $BE$ jafn langt hliðum fimmhyrningsins. Þá er þríhyrningurinn $ABE$ jafnhliða og því $$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$$

Dæmi 3. Neðra stig 1993-94

Hverja myndanna er unnt að nota til að búa til kassann?

Lausn

Hvorug myndanna $A$ eða $B$ kemur til greina því rétthyrndu hliðarnar lenda hvor í annarri þegar þær eru brotnar saman. Mynd $C$ kemur ekki til greina þar sem toppurinn passar ekki. Þá er aðeins mynd $D$ eftir og fljótlegt er að sannfæra sig um að hægt er að brjóta hana saman og fá kassann á myndinni.

Dæmi 4. Neðra stig 1993-94

Lausn jöfnunnar $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1} = 2$ er

Lausn

Hér er sjálfsagt fljótlegast að prófa valmöguleikana. Fyrstu tveir koma ekki til greina þar sem þá er neikvæð stærð undir seinni rótinni. Þá eru aðeins tveir seinni eftir og með því að prófa þá sjáum við að $x=1$ er lausn en ekki $x=2$. Síðasti valmöguleikinn er því sá rétti.

Ef við viljum hinsvegar finna allar lausnir jöfnunnar þá myndum við bera okkur einhvernvegin svona að: Byrjum á að athuga fyrir hvaða $x$ jafnan $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ er skilgreind. Undir rótunum verður að vera frekar jákvæð stærð svo $5x-1\geq 0$ og $x-1\geq 0$, það er $x\geq 1$. En þar sem $\sqrt{x-1}$ er jákvæð stærð, þá er $\sqrt{5x-1}\leq 2$ svo að $5x-1\leq 4$ og því $x\leq 1$. Nauðsynlega er þá $x=1$. Við prófum $x=1$ og sjáum að það er lausn á jöfnunni.

Dæmi 5. Neðra stig 1993-94

Gerum ráð fyrir að $a\gt 0$. Þá er $\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{a}$ jafnt

Lausn

Fyrir $a\gt 0$ höfum við að $$ \sqrt[6]{a}\cdot\sqrt{3}{a}=a^{\frac{1}{6}}a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}} =a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}.$$

Dæmi 1. Neðra stig 1993-94

Ef $3t-1=s-3$, þá er $t-3$ jafnt

Lausn

Ef $3t-1=s-3$, þá er $t=\frac{1}{3}(s-2)$ og því $$t-3=\frac{s-2}{3}-3=\frac{s-11}{3}.$$

Dæmi 8. Efra stig 1992-93

Maur vill komast frá horni $A$ til horns $B$ á rétthyrndum kubbi með hliðarlengdir 2, 4 og 8, eins og sýnt er á myndinni. Hve löng er stysta leiðin sem hann getur farið?

Lausn

Fletjum kubbinn út eins og sýnt er á myndinni. Maurinn getur valið um hvort hann hefur gönguna í punktinum $A$ eða í punktinum $A\prime$. Stysta leiðin milli $A$ og $B$ er lengd striksins $A B$ eða $\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}$ sem er stærri en lengd striksins $A\prime B$ sem er $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Lengd stystu leiðar sem maurinn getur farið er því $10$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 6. Neðra stig 1993-94

Dæmi 7. Neðra stig 1993-94

Dæmi 8. Neðra stig 1993-94

Dæmi 9. Neðra stig 1993-94

Dæmi 2. Neðra stig 1993-94

Dæmi 3. Neðra stig 1993-94

Dæmi 4. Neðra stig 1993-94

Dæmi 5. Neðra stig 1993-94

Dæmi 1. Neðra stig 1993-94

Dæmi 8. Efra stig 1992-93

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK