Hugtakasafn

Látum $f: X \to Y$ vera fall þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að $f$ sé vaxandi ef það varðveitir röðun stakanna í $X$, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu $X$:

$$Ef \; x_1 \leq x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \leq f(x_2).$$ Með öðrum orðum er $f$ vaxandi ef fallgildið $f(x)$ helst jafnt eða stækkar eftir því sem $x$ stækkar. Þegar sýna á að tiltekið fall sé vaxandi getur eftirfarandi umritun á skilyrðinu að ofan verið gagnleg: $$Ef \; x_2 - x_1 \geq 0, \text{þá er} \; f(x_2) - f(x_1) \geq 0.$$ Fall $f$ er vaxandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er minnkandi.

Sagt er að $f$ sé stranglega vaxandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt á menginu $X$:

$$Ef\; x_1 \lt x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \lt f(x_2),$$ Með öðrum orðum er $f$ stranglega vaxandi ef fallgildið $f(x)$ stækkar eftir því sem $x$ stækkar og sérhvert stranglega vaxandi fall er því sér í lagi vaxandi. Á sama hátt og áður getur eftirfarandi umritun verið gagnleg: $$Ef\; x_2 - x_1 \gt 0, \text{þá er}\; f(x_2) - f(x_1) \gt 0.$$ Fall $f$ er stranglega vaxandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er stranglega minnkandi.

Munurinn á vaxandi og stranglega vaxandi föllum er sá að ef $f$ er vaxandi má fallgildið $f(x)$ haldast jafnt eftir því sem $x$ stækkar en ef $f$ er stranglega vaxandi verður $f(x)$ að stækka. Með öðrum orðum eru stranglega vaxandi föll eintæk á meðan vaxandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er vaxandi en ekki stranglega vaxandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega vaxandi.

Eins og kemur fram að ofan er sérhvert stranglega vaxandi fall $f: X \to Y$ eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan $f^{-1}: Y \to X$ er líka stranglega vaxandi.