Veldareglurnar | stæ.is

Veldareglurnar (rauntölur)

08/2010 - Einar Bjarki Gu...

Veldi fullnægja fimm reiknireglum sem oft eru kallaðar veldareglurnar. Þær segja (að því gefnu að öll veldi sem koma við sögu séu vel skilgreind):

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ .
$\displaystyle{ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} }\qquad \text{ef}\; a \neq 0$ .
$(a^x)^y = a^{x \cdot y}$ .
$(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$ .
$\displaystyle{ \left(\frac{a}b\right)^x = \frac{a^x}{b^x} }\qquad \text{ef}\; b \neq 0$ .

Dæmi:

Fáum með hjálp veldareglanna: $\begin{align} \frac{(a^2 \cdot b^5)^4}{b^2 \cdot a^{12}} \cdot \left(\frac{a}{b^3}\right)^6 &= \frac{(a^2)^4 \cdot (b^5)^4}{b^2 \cdot a^{12}} \cdot \frac{a^6}{(b^3)^6} = \frac{a^{2 \cdot 4} \cdot b^{5 \cdot 4} \cdot a^6}{b^2 \cdot a^{12} \cdot b^{3 \cdot 6}} \\ &= \frac{a^8 \cdot b^{20} \cdot a^6}{b^2 \cdot a^{12} \cdot b^{18}} = a^{8+6-12} \cdot b^{20-2-18} = a^2. \end{align}$
Fáum með hjálp veldareglanna: $\begin{align} \frac{(a^{2/3} \cdot b^{2/5})^{9/2}}{(b^6)^{1/15}} &= \frac{(a^{2/3})^{9/2} \cdot (b^{2/5})^{9/2}}{b^{6 \cdot 1/15}} = \frac{a^{2/3 \cdot 9/2} \cdot b^{2/5 \cdot 9/2}}{b^{2/5}} \\ &= \frac{a^3 \cdot b^{7/5}}{b^{2/5}} = a^3 \cdot b^{7/5 - 2/5} = a^3 \cdot b. \end{align}$

Einnig geta eftirfarandi umritunarreglur verið gagnlegar við útreikninga:

Dæmi:

Fáum með hjálp umritunarreglanna og veldareglanna: $\frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[5]{a^7}}{a^2 \cdot \sqrt[15]{a}} = \frac{a^{2/3} \cdot a^{7/5}}{a^2 \cdot a^{1/15}} = a^{2/3 + 7/5 - 2 - 1/15} = a^{10/15 + 21/15 - 30/15 - 1/15} = a^0 = 1.$